動態規劃入門（二）DP 基本思想 具體實現 經典題目 POJ1088
阿新 • • 發佈：2019-02-18
(一) POJ1088，動態規劃的入門級題目。嘿嘿，連題目描述都是難得一見的中文。
題目分析：
求最長的滑雪路徑，關鍵是確定起點，即從哪開始滑。
不妨設以( i, j )為起點，現在求滑行的最長路徑。
首先，( i, j )能滑向的無非就是它四周比它低的點。到底滑向哪個點？很簡單，誰長滑行誰。假設(i, j )--->( i, j+1 ), 現在就變成了：以( i, j+1 )為起點，求最長滑行路徑的問題。這樣一直下去，直到某個區域性最低點，就算滑行結束了。
狀態轉換方程：
dp( i,j ) = Max( dp( i-1, j ), dp( i, j+1 ),dp( i+1, j ), dp( i, j-1 ) ) + 1;
其中：dp( i,j )表示以( i, j )為起點，所能滑行的最長長度
程式設計實現：
列舉起點，找到最長的滑行路徑。因為涉及到上下左右的點，所以注意邊界情況的處理。還是記憶化遞迴來的簡便，直接把Invalid的情況給剪掉。
下面是程式碼：
/* * Michael喜歡滑雪百這並不奇怪， 因為滑雪的確很刺激。可是為了獲得速度，滑的區域必須向下傾斜，而且當你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降機來載你。 Michael想知道載一個區域中最長底滑坡。區域由一個二維陣列給出。陣列的每個數字代表點的高度。 下面是一個例子 1 2 3 4 5 16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9 一個人可以從某個點滑向上下左右相鄰四個點之一，當且僅當高度減小。在上面的例子中，一條可滑行的滑坡為24-17-16-1。當然25-24-23-...-3-2-1更長。事實上，這是最長的一條。 */ import java.util.Scanner; public class DP { private int row;// 行數 private int col;// 列數 private int[][] height; // 存放各個點的高度 private int maxLength = 0; private int[][] flag; // 存放從各個點開始的最長長度 ，主要實現動態規劃，不再重複計算同樣點的最大長度 private int[] path = new int[1000];// 儲存最長路徑上的點 public DP(int i, int j) { // 建構函式 this.row = i; this.col = j; height = new int[row][col]; flag = new int[row][col]; create(); } // 給二維陣列賦值 public void create() { Scanner scan = new Scanner(System.in); for (int i = 0; i < row; i++) { for (int j = 0; j < col; j++) { height[i][j] = (int) scan.nextInt(); // 初始化各個點的高度值 flag[i][j] = -1; // 初始化flag陣列 } } } public int max_Len(int i, int j) { // 遞迴求最大值 int max = 0; int[] temp = { 1, 1, 1, 1 }; // temp存放點height[i][j]的上下左右四個方向的最大長度 if (flag[i][j] != -1) { return flag[i][j]; } else { if (j > 0 && height[i][j - 1] <= height[i][j])// 當可以向左滑動時 { // 當可以向左滑動時 temp[0]=max[i][j-1]+1，否則temp[0]=0；下面類似 temp[0] = max_Len(i, j - 1) + 1; } if (j < col - 1 && height[i][j + 1] <= height[i][j])// 向右 { temp[1] = max_Len(i, j + 1) + 1; } if (i > 0 && height[i - 1][j] <= height[i][j]) // 向上 { temp[2] = max_Len(i - 1, j) + 1; } if (i < row - 1 && height[i + 1][j] <= height[i][j])// 向下 { temp[3] = max_Len(i + 1, j) + 1; } // for迴圈找出從height[i][j]出發的最大長度 for (int k = 0; k < temp.length; k++) { if (max < temp[k]) { max = temp[k]; } } flag[i][j] = max; return max; } } /** * 預設取temp[i]=1是因為當該點不能向繼續滑動時，應返回1 */ // 返回最大長度 public void maxLength() { int x = 0; int y = 0; // x,y記錄座標位置 for (int i = 0; i < row; i++) { for (int j = 0; j < col; j++) { if (maxLength < max_Len(i, j)) { maxLength = max_Len(i, j); x = i; y = j; } } } System.out.println("最大長度為：" + (maxLength)); System.out.print("最大路徑："); printPath(x, y); } public void printPath(int a, int b) { // 列印最長路徑 int i = a; int j = b; int x = 0; int y = 0;// x y記錄.座標 int max = 0; while (maxLength > 0) { int[][] temp = new int[row][col]; // 暫存前後左右四個方向滑行的長度以及座標 System.out.print(height[i][j] + " "); // 輸出最長路徑上的點 if (j > 0 && height[i][j - 1] < height[i][j]) { // 向左試探 temp[i][j - 1] = flag[i][j - 1]; } if (j < col - 1 && height[i][j + 1] < height[i][j]) { // 向右試探 temp[i][j + 1] = flag[i][j + 1]; } if (i > 0 && height[i - 1][j] < height[i][j]) { // 向前試探 temp[i - 1][j] = flag[i - 1][j]; } if (i < row - 1 && height[i + 1][j] < height[i][j]) { // 向後試探 temp[i + 1][j] = flag[i + 1][j]; } for (int m = 0; m < row; m++) { // 求前後左右四個方向滑雪最大長度點 for (int n = 0; n < col; n++) { if (max < temp[m][n]) { max = temp[m][n]; x = m; y = n; } } } i = x; j = y; max = 0;// i j max重新賦值 maxLength--; } } public static void main(String[] args) { int i; int j; Scanner scanner = new Scanner(System.in); i = scanner.nextInt();// 行 j = scanner.nextInt();// 列 DP m = new DP(i, j); m.maxLength(); } }
c++
#include <iostream> using namespace std; //***********************常量定義***************************** const int MAX = 105; //*********************自定義資料結構************************* //********************題目描述中的變數************************ int row; int col; int data[MAX][MAX]; //**********************演算法中的變數************************** //dp[i][j]表示從data[i][j]出發所能滑行的最大長度 int dp[MAX][MAX]; //***********************演算法實現***************************** int DP( int r, int c ) { //如果已經計算過，則直接返回 if( dp[r][c] > 0 ) return dp[r][c]; int ans = 0; int tmp = 0; //只對有效的r、c進行計算 if( r - 1 >= 1 ) { //剪枝：只能滑行更低的點 if( data[r][c] > data[r-1][c] ) { tmp = DP( r-1, c ); if( ans < tmp ) ans = tmp; } } if( r + 1 <= row ) { if( data[r][c] > data[r+1][c] ) { tmp = DP( r+1, c ); if( ans < tmp ) ans = tmp; } } if( c - 1 >= 1 ) { if( data[r][c] > data[r][c-1] ) { tmp = DP( r, c-1 ); if( ans < tmp ) ans = tmp; } } if( c + 1 <= col ) { if( data[r][c] > data[r][c+1] ) { tmp = DP( r, c+1 ); if( ans < tmp ) ans = tmp; } } //如果是普通點，由狀態轉換方程 //DP(i,j) = max( DP(i,j-1), DP(i,j+1), DP(i-1,j), DP(i+1,j) ) + 1; //如果是某個區域性最低點，則返回 0 + 1 = 1 dp[r][c] = ans + 1; return dp[r][c]; } void Solve() { int ans = 0; for( int i=1; i<=row; i++ ) { for( int j=1; j<=col; j++ ) { int tmp = DP( i, j ); if( ans < tmp ) ans = tmp; } } cout << ans << endl; cout<<"-----------------"<<endl; for( int i=1; i<=row; i++ ) { for( int j=1; j<=col; j++ ) { cout<< dp[i][j]<<" "; } cout<<endl; } } //************************main函式**************************** int main() { //freopen( "in.txt", "r", stdin ); cin >> row >> col; for( int i=1; i<=row; i++ ) { for( int j=1; j<=col; j++ ) { cin >> data[i][j]; } } //輸出 for( int i=1; i<=row; i++ ) { for( int j=1; j<=col; j++ ) { cout<< data[i][j]<<" "; } cout<<endl; } Solve(); system("pause"); return 0; }