在上一篇文章中，介紹了拜占庭將軍問題的描述、條件和結論。在傳輸口頭訊息(Oral Messages)時，少於3m+1個將軍中有m個叛徒時，拜占庭將軍問題是無解的。Leslie在原文1中, 提出了一種傳輸口頭訊息時拜占庭將軍問題的一種解法。

定義

首先，為定義口頭訊息，拜占庭將軍訊息系統具有以下假設：

A1. 每個訊息被正確傳送。
A2. 訊息的接收者知道是誰傳送的訊息
A3. 可以被檢測到缺少訊息

假設A1和A2防止叛徒干擾其他兩個將軍的通訊，假設A3防止叛徒通過不發訊息干擾一致性達成。

另外，口頭協議演算法要求每個將軍可以與其他任意將軍直接進行通訊，Leslie在其原文中的第五章中描述了不需要滿足這個條件的演算法。

OM(m)演算法

Leslie針對口頭訊息(Oral Messages)的情況，提出了口頭協議演算法OM(m)，其中m為非負。OM(m)演算法是一個遞迴演算法，用來處理在3m+1個將軍中至多存在m個叛徒的情況。

預設行動：副官如果在指定時間內收不到來自司令的命令，則預設採取“撤退”行動。這是為了防止司令官為叛徒時，通過不發出命令來阻礙達成共識。

行動函式：演算法假設使用majority方法作為行動函式，即當vi$v_i$的大多數為v時，則

majority(v1,...,vn−1)=v$$majority(v_1,...,v_{n-1})=v$$

注：其實對於行動函式，有兩種比較容易想到的選擇：

• vi$v_i$的大多數值v，如果不存在大多數採取預設行動——“撤退”；
• 如果vi$v_i$是個有序的集合，採用其中位數。

OM(m)演算法：採用遞迴定義，下面分別說明OM(0)和OM(m)的內容。

當m=0$m=0$時，

OM(0)演算法

(1) 司令傳送他的值給每個副官；
(2) 如果副官收到司令的值，使用這個值；否則，使用預設值——“撤退”。

當m>0$m>0$時，

OM(m)演算法

(1) 司令傳送他的值給每個副官；
(2) 對於每個i$i$，令vi$v_i$為副官i$i$從司令接收到的值；如果沒有收到值，則vi$v_i$採用預設值——“撤退”。在OM(m-1)

演算法中，副官i$i$作為司令向另外n-2個副官(不包括OM(m)中的司令)傳送值vi$v_i$。
(3) 對於每個i$i$，對於每個j≠i$j\ne i$的j$j$，令vi$v_i$為副官i$i$在第(2)步中從副官j$j$接收的值；如果沒有接收到值，則使用預設值——“撤退”。副官i$i$用majority(v1,...,vn−1)$majority(v_1,...,v_{n-1})$作為其值。

舉例：m=1, n=4

• 當一個副官是叛徒時

假設副官3是叛徒，下圖針對副官2收到的訊息對OM(1)進行闡述。

第一步：司令向每個副官傳送他的值v$v$給每個副官；
第二步：副官1執行OM(0)，作為司令向副官2傳送v$v$；由於副官3是叛徒，其執行OM(0)向副官2傳送了不同的值，假設為x$x$；
第三步：副官2擁有的行動值集為{v1,v2,v3}={v,v,x}$\{v_1,v_2,v_3\}=\{v,v,x\}$，採用majority函式，副官2採取的行動值為v=majority{v1,v2,v3}$v=majority\{v_1,v_2,v_3\}$。

同理，副官1採取的行動指令也是v$v$，即滿足拜占庭將軍問題一致性條件IC1和IC2。

注：拜占庭將軍問題一致性條件為：

IC1. 所有忠誠副官遵守同一命令；
IC2. 如果司令官是忠誠的，每個忠誠的副官遵守他的命令。

• 當司令為叛徒時

下圖描述了當司令為叛徒，三位副官是忠誠的情況對OM(1)演算法進行闡述。

第一步：司令為了阻止忠誠副官達成一致，分別向三位副官傳送值{x,y,z}$\{x,y,z\}$;
第二步：每個副官從司令收到的值作為自己的值，並執行OM(0)向其他副官傳送；
第三步：在第三步中，每個副官擁有的值集均為{x,y,z}$\{x,y,z\}$，因此，副官執行行動函式majority得到的結果是一樣的。

由於三位忠誠的將軍採取同樣的行動，滿足拜占庭將軍一致性條件IC1。

從m=1, n=4的例子可以看出，OM(m)演算法能夠處理拜占庭將軍問題。在OM(m)演算法中，獨立執行了n-1次OM(m-1)，且每個OM(m-1)演算法獨立執行了n-2次OM(m-2)……這就意味著，每個副官可能獨立傳送多輪訊息。為了避免混淆，需要區分每輪訊息。最易想到的方法是，每個副官i$i$在為第(2)步的值vi$v_i$新增字首i$i$。可以看出，演算法OM(m-k)將被呼叫(n−1)...(n−k)$(n-1)...(n-k)$次，傳送擁有k$k$個副官序號字首的值。

OM(m)演算法證明

本節採用歸納法證明OM(m)演算法能夠解決拜占庭將軍問題。

引理

為了證明OM(m)演算法，我們首先來證明一條引理：

對於任意的m$m$和k$k$，如果在多於2k+m$2k+m$個將軍中至多存在k$k$個叛徒，則OM(m)演算法滿足條件IC2。

證明： 歸納法，針對引數m$m$進行歸納。

當m=0$m=0$時，根據假設A1和OM(0)演算法，易得如果司令是忠誠的，忠誠的將軍按照司令的指令行動，引理是成立的。

當m>0$m>0$時，假設在