據說著名猶太曆史學家 Josephus有過以下的故事：在羅馬人佔領喬塔帕特後，39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了一個自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從。首先從一個人開始，越過k-2個人（因為第一個人已經被越過），並殺掉第k個人。接著，再越過k-1個人，並殺掉第k個人。這個過程沿著圓圈一直進行，直到最終只剩下一個人留下，這個人就可以繼續活著。問題是，給定了和，一開始要站在什麼地方才能避免被處決？Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。

上面是對問題的由來描述，下面我們將問題進行分析，分析方法一採用遞迴的方式進行演算法設計。

遞迴演算法設計：

初始的編號 1  2  3  4  5 ......k-2  k-1  k  k+1  k+2  ...... n 

一輪後編號分析：首先是第k個元素要出圈，然後是第k+1個元素再次從1開始記數，具體編號分析如下：

原始編號             進行第二輪時的編號

k+1                    1

k+2                    2

k+3                    3

k+4                    4

 ............

  n                             n-k

  1                             n-k+1

  2                             n-k+2

  ...... ......

  k-1                         n-1

講到這裡，讀者不妨想想如果我們現在只是考慮第二輪的編號中的資料進行分析，這不就是原約瑟夫環的一個子問題而已，關鍵點在於如何將兩個問題進行關聯起來

如果我們能夠找到從第二輪編號到初始編號的關聯關係，問題便會迎刃而解。通過觀察分析，如果將k表示第二輪編號，t表示初始編號，那麼大家快就會發現其關係式為 

t = (k+m)%n,之後我們便只需解決一些遞迴的跳出條件細節問題。

下面附上java版原始碼：

public static int joseph(int n, int m)
{
	if (n == 2) return (m%2) ? 2 : 1;
	int v = (m+josephus0(n-1,m)) % n;
	if (v == 0) v = n;
	return v;
}

非遞迴演算法設計：

遞迴演算法分析簡單，容易程式設計，但是卻會花費較大的代價，執行效率並不高，因此必須考慮下約瑟夫環的非遞迴演算法，非遞迴演算法的設計思想是引入一維陣列表示該問題本體，設定另外陣列表示該位置的是否出列狀態，出列後下階段的計算將不會將其考慮在內，最後輸出唯一的狀態為未出列的位置，具體演算法實現如下：

import java.util.Scanner;
        public class JosephProblem {
	public static void main(String[] args)
	{
		//約瑟夫環非遞迴演算法
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		System.out.print("請輸入要報數的總人數：");
		int n = sc.nextInt();
		int leftnumber = n;
		System.out.print("請輸入隔幾報數：");
		int k = sc.nextInt();
		int countnumber = 0;
		int index = 0;
		int[] array = new int[n];
		for(int i = 0;i <= n-1;i++)
			array[i] = 1;
		while(leftnumber > 1)
		{
			if(array[index] == 1)
			{
				countnumber++;
				if(countnumber == k)
				{
					countnumber = 0;
					array[index] = 0;
					leftnumber--;
				}
			}
			index++;
			if(index == n)
				index = 0;
		}	
		for(int j = 0;j <= n-1;j++)
		{	
			if(array[j] == 1)
				System.out.print(j+1+" ");
		}
	}
}