約瑟夫環問題的原來描述為，設有編號為1，2，……，n的n(n>0)個人圍成一個圈，從第1個人開始報數，報到m時停止報數，報m的人出圈，再從他的下一個人起重新報數，報到m時停止報數，報m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈為止。當任意給定n和m後，設計算法求n個人出圈的次序。 稍微簡化一下。

問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

利用數學推導，如果能得出一個通式，就可以利用遞歸、循環等手段解決。下面給出推導的過程：

（1）第一個被刪除的數為 (m - 1) % n。

（2）假設第二輪的開始數字為k，那麽這n - 1個數構成的約瑟夫環為k, k + 1, k + 2, k +3, .....,k - 3, k - 2。做一個簡單的映射。

k -----> 0
k+1 ------> 1
k+2 ------> 2
...
...

k-2 ------> n-2

這是一個n -1個人的問題，如果能從n - 1個人問題的解推出 n 個人問題的解，從而得到一個遞推公式，那麽問題就解決了。假如我們已經知道了n -1個人時，最後勝利者的編號為x，利用映射關系逆推，就可以得出n個人時，勝利者的編號為 (x + k) % n。其中k等於m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

（3）第二個被刪除的數為(m - 1) % (n - 1)。

（4）假設第三輪的開始數字為o，那麽這n - 2個數構成的約瑟夫環為o, o + 1, o + 2,......o - 3, o - 2.。繼續做映射。

o -----> 0
o+1 ------> 1
o+2 ------> 2
...
...

o-2 ------> n-3

這是一個n - 2個人的問題。假設最後的勝利者為y，那麽n -1個人時，勝利者為 (y + o) % (n -1 )，其中o等於m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)

要得到n - 1個人問題的解，只需得到n - 2個人問題的解，倒推下去。只有一個人時，勝利者就是編號0。下面給出遞推式：

f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)

有了遞推公式，實現就非常簡單了，給出循環的兩種實現方式。再次表明用標準庫的便捷性。

對於上面第一個映射表，由映射關系可得，如果0~n-1中某人報了m-1,設這個人為x,那麽原位置一定是(x+k)%n

相信大家都能看出規律，為什麽要%n，因為後面的序號不會一直無限制增大，會變小，比如4,5,6,7,1,2,那麽1和2就是（4+4）%7，（4+5）%7

附上代碼，當然這題也可以遞歸推一推，但沒有必要

#include <stdio.h>

using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int f[maxn];
int main(){
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    f[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        f[i]=(f[i-1]+k)%i;
    }
    printf("%d",f[n]+1);
    return 0;
}

51nod 1073約瑟夫環 遞歸公式法