歐幾里得演算法：

歐幾里得定理：gcd(a,b)=gcd(b,amodb)

證明：

a 可以表示成 a = kb + r（a，b，k，r皆為正整數，且 r < b），則 r = a mod b
假設 d 是 a , b 的一個公約數，記作 d | a , d | b，即 a 和 b 都可以被 d 整除。
而 r = a - kb，兩邊同時除以 d，r / d = a / d - kb / d = m，由等式右邊可知m為整數，因此 d | r
因此 d 也是 b , a mod b 的公約數
假設 d 是 b , a mod b 的公約數, 則 d | b , d | (a - k * b) , k 是一個整數,
進而 d | a .因此 d 也是 a , b 的公約數
因此(a , b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。

程式碼：

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

擴充套件歐幾里得演算法：

描述：

求形如ax+by=gcd(a,b)的不定方程的一組解，且保證求出的|x|+|y|最小。

程式碼

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)//遞迴邊界
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x
 
;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
    }
}

證明（字寫的醜請見諒）：

用途：

1.解不定方程ax+by=gcd(a,b) （廢話- -||）
2.在O(logn)時間內求乘法逆元
3.求解線性同餘方程（轉化成上述的不定方程來解）