定義

滿二叉樹：每個內節點都有兩個孩子。

完全二叉樹：除了最後一層葉子外的二叉樹是滿二叉樹，最後一層葉子都連續地集中在最左邊。

平衡二叉樹：樹的兩個子樹的高度差不超過1。

赫夫曼樹：帶路徑權值的樹，權值越高的越靠近根。

高度：高度不包括根結點，及如果根結點無左右子樹，則高度為0。

數學性質

性質一：高度為h的二叉樹至多有2^h個葉子結點

證明略。

性質二：高度為h≥0的二叉樹至少有h+1個結點

如果要使高度為定值的二叉樹的結點數最少，則該二叉樹的每個結點只有一個子樹，即每層只有一個結點，共h個，再加上根結點，共h+1個，所以至少有h+1個結點。

性質三：高度不超過h(≥0)的二叉樹至多有2^h+1-1

證明：

滿二叉樹結點最多，所以證明滿二叉樹是否滿足該性質。

當h=0時，只有根結點，即結點數為1；

假設h=k時，結點數為2^k+1-1；

則當h=k+1時，由於比高度為k的二叉樹多了一層葉子，根據性質一，第k+1層最多有個2^k+1葉子，所以共有2^k+1+2^k+1-1=2^(k+1)+1-1個結點；

證畢。

性質四：含有n≥1個結點的二叉樹的高度至多為n-1

由性質二可得出。

性質五：含有n≥1個結點的二叉樹的高度至少為logn，因此其高度為Ω(logn)

根據性質三可得出。

滿二叉樹

性質一：高度為h的滿二叉樹，共有2^h+1-1個結點

證明：

結點共有1+2+4+...+2^h = 2^h+1

性質二：共有2^h個葉子

性質三：共有2^h-1個內結點，內結點個數比葉子少1

證明略。

完全二叉樹

完全二叉樹是一個比較特殊的二叉樹，有著很多性質。

我們從樹根起，自上層到下層，逐層從左到右給二叉樹的所有結點編號，編號從1開始，即根結點編號為1。

性質一：第h層的從左到右第k個結點的編號為2^h+k-1

該完全二叉樹是由高為h-1的滿二叉樹和第h層的k個葉子組成，h-1的滿二叉樹共有2^h-1個結點，所以，h層第k個結點的編號為2^h+k-1。

性質二：葉子個數或者和內結點個數相等或者多1

高度為h的完全二叉樹是由高度為h-1的滿二叉樹和k個葉子組成，由滿二叉樹的性質得出，葉子數比內結點多1。

我們通過給高為h-1的滿二叉樹增加葉子來得到完全二叉樹，當我們給左邊第一個葉子增加1個結點時，該葉子變為了內結點，而增加的結點是葉子，可以得出，葉子數沒變，而內結點數增加了一個，此時，內結點數和葉子數一樣；再增加一個結點，可以得出，葉子數增加了一個，而內結點數不變，所以此時，葉子數比內結點數多1。按照同樣的步驟依次將剩餘的葉子新增後，該性質是不變的。

性質三：通過本結點的編號可以快速得到父結點、左右孩子的編號

int parent(int i){

return i>>1;//i/2

}

int left(int i){

return i<<1;//i*2

}

int right(int i){

return (i<<1) + 1;//i*2+1

}