Top K問題在資料分析中非常普遍的一個問題（在面試中也經常被問到），比如：

從20億個數字的文字中，找出最大的前100個。

解決Top K問題有兩種思路，

• 最直觀：小頂堆（大頂堆 -> 最小100個數）；
• 較高效：Quick Select演算法。

1. 堆

小頂堆（min-heap）有個重要的性質——每個結點的值均不大於其左右孩子結點的值，則堆頂元素即為整個堆的最小值。JDK中PriorityQueue實現了資料結構堆，通過指定comparator欄位來表示小頂堆或大頂堆，預設為null，表示自然序（natural ordering）。

小頂堆解決Top K問題的思路：小頂堆維護當前掃描到的最大100個數，其後每一次的掃描到的元素，若大於堆頂，則入堆，然後刪除堆頂；依此往復，直至掃描完所有元素。Java實現第K大整數程式碼如下：

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
  PriorityQueue<Integer> minQueue = new PriorityQueue<>(k);
  for (int num : nums) {
    if (minQueue.size() < k || num > minQueue.peek())
      minQueue.offer(num);
    if (minQueue.size() > k)
      minQueue.poll();
  }
  return minQueue.peek();
}
 

2. Quick Select

Quick Select [1]脫胎於快排（Quick Sort），兩個演算法的作者都是Hoare，並且思想也非常接近：選取一個基準元素pivot，將陣列切分（partition）為兩個子陣列，比pivot大的扔左子陣列，比pivot小的扔右子陣列，然後遞推地切分子陣列。Quick Select不同於Quick Sort的是其沒有對每個子陣列做切分，而是對目標子陣列做切分。其次，Quick Select與Quick Sort一樣，是一個不穩定的演算法；pivot選取直接影響了演算法的好壞，worst case下的時間複雜度達到了\(O(n^2)\)。下面給出Quick Sort的Java實現：

public void quickSort(int arr[], int left, int right) {
  if (left >= right) return;
  int index = partition(arr, left, right);
  quickSort(arr, left, index - 1);
  quickSort(arr, index + 1, right);
}

// partition subarray a[left..right] so that a[left..j-1] >= a[j] >= a[j+1..right]
// and return index j
private int partition(int arr[], int left, int right) {
  int i = left, j = right + 1, pivot = arr[left];
  while (true) {
    while (i < right && arr[++i] > pivot)
      if (i == right) break;
    while (j > left && arr[--j] < pivot)
      if (j == left) break;
    if (i >= j) break;
    swap(arr, i, j);
  }
  swap(arr, left, j);  // swap pivot and a[j]
  return j;
}

private void swap(int[] arr, int i, int j) {
  int tmp = arr[i];
  arr[i] = arr[j];
  arr[j] = tmp;
}

Quick Select的目標是找出第k大元素，所以

• 若切分後的左子陣列的長度 > k，則第k大元素必出現在左子陣列中；
• 若切分後的左子陣列的長度 = k-1，則第k大元素為pivot；
• 若上述兩個條件均不滿足，則第k大元素必出現在右子陣列中。

Quick Select的Java實現如下：

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
  return quickSelect(nums, k, 0, nums.length - 1);
}

// quick select to find the kth-largest element
public int quickSelect(int[] arr, int k, int left, int right) {
  if (left == right) return arr[right];
  int index = partition(arr, left, right);
  if (index - left + 1 > k)
    return quickSelect(arr, k, left, index - 1);
  else if (index - left + 1 == k)
    return arr[index];
  else
    return quickSelect(arr, k - index + left - 1, index + 1, right);

}

上面給出的程式碼都是求解第k大元素；若想要得到Top K元素，僅需要將程式碼做稍微的修改：比如，掃描完成後的小頂堆對應於Top K，Quick Select演算法用中間變數儲存Top K元素。

3. 參考資料

[1] Hoare, Charles Anthony Richard. "Algorithm 65: find." Communications of the ACM 4.7 (1961): 321-322.
[2] James Aspnes, QuickSelect.