在卷積的定義中為什麼函式g(τ)要先翻轉為g(-τ)再平移為g(x-τ)而不是直接記作g(τ-x)這樣做有什麼好處麼？

我知道問一個概念的定義就好像問"媽媽"為什麼要叫"媽媽"一樣。但我始終覺得這樣的定義有些彆扭。想知道這樣做背後的意義。

不要試圖直接從公式上去思考"翻轉"的意義，回到問題的起源，你就會豁然開朗了。

打個比方，往平靜的水面裡面扔石頭。我們把水面的反應看作是一種衝擊響應。水面在t=0時刻石頭丟進去的時候會激起高度為h(0)的波紋，但水面不會立馬歸於平靜，隨著時間的流逝，波紋幅度會越來越小，在t=1時刻，幅度衰減為h(1), 在t=2時刻，幅度衰減為h(2)……直到一段時間後，水面重複歸於平靜。

從時間軸上來看，我們只在t=0時刻丟了一塊石頭，其它時刻並沒有做任何事，但在t=1,2….時刻，水面是不平靜的，這是因為過去（t=0時刻）的作用一直持續到了現在。

那麼，問題來了：

如果我們在t=1時刻也丟入一塊石子呢？此時t=0時刻的影響還沒有消失（水面還沒有恢復平靜）新的石子又丟進來了，那麼現在激起的波浪有多高呢？答案是當前激起的波浪與t=0時刻殘餘的影響的疊加。那麼t=0時刻對t=1時刻的殘餘影響有多大呢？

為了便於說明，接下來我們作一下兩個假設：

1． 水面對於"單位石塊"的響應是固定的

2． 丟一個兩倍於的"單位石塊"的石塊激起的波紋高度是丟一個石塊的兩倍（即系統滿足線性疊加原理）

現在我們來計算每一時刻的波浪有多高：

• t=0時刻：

y(0)=x(0)*h(0);

• t=1時刻：

當前石塊引起的影響x(1)*h(0);

t=0時刻石塊x(0)引起的殘餘影響x(0)*h(1);

y(1)=x(1)*h(0)+ x(0)*h(1);

• t=2時刻：

當前石塊引起的影響x(2)*h(0);

t=0時刻石塊x(0)引起的殘餘影響x(0)*h(2);

t=1時刻石塊x(1)引起的殘餘影響x(1)*h(1);

y(2)=x(2)*h(0)+ x(1)*h(1)+x(0)*h(2);

……

• t=N時刻：

當前石塊引起的影響x(N)*h(0);

t=0時刻石塊x(0)引起的殘餘影響x(0)*h(N);

t=1時刻石塊x(1)引起的殘餘影響x(1)*h(N-1);

y(N)=x(N)*h(0)+ x(N-1)*h(1)+x(N-2)*h(2)+…+x(0)*h(N);

這就是離散卷積的公式了

理解了上面的問題，下面我們來看看"翻轉"是怎麼回事：

當我們每次要丟石子時，站在當前的時間點，系統的對我們的迴應都是h(0),時間軸之後的（h(1),h(2).....）都是對未來的影響。而整體的迴應要加上過去對於現在的殘餘影響。

現在我們來觀察t=4這個時刻。

站在t=0時刻看他對於未來（t=4）時刻(從現在往後4秒)的影響，可見是x(0)*h(4)

站在t=1時刻看他對於未來（t=4）時刻的影響(從現在往後3秒)，可見是x(1)*h(3)

站在t=2時刻看他對於未來（t=4）時刻的影響(從現在往後2秒)，可見是x(2)*h(2)

站在t=3時刻看他對於未來（t=4）時刻的影響(從現在往後1秒)，可見是x(3)*h(1)

所以所謂的翻轉只是因為你站立的現在是過去的未來，而因為h(t)始終不變，故h(1)其實是前一秒的h(1)，而前一秒的h(1)就是現在，所以從當前x(4)的角度往左看，你看到的是過去的作用。h(t)未翻轉前，當從h(0)往右看，你看到的是現在對於未來的影響，當翻轉h(t)之後，從h(0)往左看，你依次看到的越來越遠的過去對現在的影響，而這個影響，與從x=4向左看的作用影響相對應（都是越來越遠的過去），作用與作用的響應就對應起來了，這一切的本質，是因為你站立的時間觀察點和方向在變。