分治法在求解“最近對”問題中的應用(JAVA)
分治法在求解“最近對”問題中的應用
最近對問題在蠻力法中有過講解,時間複雜度為O(n^2),下面將會採用分治法講解這類問題,時間複雜度會降到O(nlogn)
我們將笛卡爾平面上n>1個點構成的集合稱為P。若2<= n <= 3時,我們1可以通過蠻力法求解。但當n>3時,採用分治法或許是個更好的選擇。假設這些點是按照x軸、y軸升序排列的,可以找出點集在x軸方向上的中位數m,做一條垂直x軸的分割線,由此點將點集劃分為左右兩個大小為n/2的子集P1和P2,之後通過遞迴求解出在子集中的最近對距離d1,d2,最後找出d=max{d1,d2}。
但是!!!不巧的是,我們忽略了一個問題,如果距離最近的兩個點剛好分別在兩個子集中,那麼d就不是所有點對的最小距離。我們需要在每次合併子問題結果時,要加以判斷是否存在這樣的點對。方法是:只考慮以分割線為對稱軸、寬度為2d的垂直帶中的的點,因為其他點對的距離都是大於d的。
這裡給出一個優化,當我們在垂直帶中找到一個點p,只需要考慮p之後的5個點即可。
這是因為:如果我們在垂直帶中找到p-p'兩點的距離小於p,由於我們的序列時經過排序的,所以p'一定在p之後,且兩點在y軸上的距離一定是小於d的(根據勾股定理,兩點之間的距離如果小於d,那麼x軸分量和y軸分量都是小於d的,反之,不可能存在這個點)。所以在幾何學上,p'的位置一定在下圖中的淡黃色矩形區域。而矩形區域內一般只能包含少量的候選點,這個數量最大為6(根據鴿巢定理)。圖中6個紅色點為極端的臨界情況。我們將d * 2d的矩形劃分為d/2 * 2d/3的6塊區域,如果超過6個點,假設為7,那麼一定會出現某個小矩形中有兩個點,這兩個點的最大距離為圖中紅線距離5/6d <d,這和d的意義不符。
import java.util.Arrays; import java.util.Comparator; import java.util.Scanner; class Point { double x; double y; Point (double x, double y) { this.x = x; this.y = y; } } public class Main { static Point[] point; static Point[] minP = new Point[2]; static Scanner in = new Scanner(System.in); public static void main(String[] args) { int n = in.nextInt(); point = new Point[n]; // for (int i = 0; i < n; i++) { // int a = in.nextInt(); // int b = in.nextInt(); // point[i] = new Point(a, b); // } point[0] = new Point(1,3); point[1] = new Point(2,1); point[2] = new Point(3,5); point[3] = new Point(4,4); point[4] = new Point(5,2); Arrays.sort(point,0, n, new Comparator<Point>() { @Override public int compare(Point o1, Point o2) { return (int) (o1.x - o2.x); } }); System.out.println(point.length); double minD = closestPoint(0, point.length-1); for (int i = 0; i < 2; i++) { System.out.println(minP[i].x + "," + minP[i].y); } System.out.println(minD); } private static double closestPoint(int low, int high) { Point[] temp1 = new Point[2]; Point[] temp2 = new Point[2]; Point[] p = new Point[high - low + 1]; double d, d1, d2, d3; int index = 0; if (high - low == 1) { minP[0] = new Point(point[low].x, point[low].y); minP[1] = new Point(point[high].x, point[high].y); return distance(point[low], point[high]); } if (high - low == 2) { d1 = distance(point[low], point[low+1]); d2 = distance(point[low+1], point[high]); d3 = distance(point[low], point[high]); if ((d1 <= d2) && (d1 <= d3)) { minP[0] = new Point(point[low].x, point[low].y); minP[1] = new Point(point[low+1].x, point[low+1].y); return d1; } else if (d2 <= d3) { minP[0] = new Point(point[low+1].x, point[low+1].y); minP[1] = new Point(point[high].x, point[high].y); return d2; } else { minP[0] = new Point(point[low].x, point[low].y); minP[1] = new Point(point[high].x, point[high].y); return d3; } } int mid = (low + high) / 2; d1 = closestPoint(low, mid); temp1[0] = minP[0]; temp1[1] = minP[1]; d2 = closestPoint(mid+ 1, high); temp2[0] = minP[0]; temp2[1] = minP[1]; if (d1 < d2) { d = d1; minP[0] = temp1[0]; minP[1] = temp1[1]; } else { d = d2; minP[0] = temp2[0]; minP[1] = temp2[1]; } for (int i = mid;i>=low && (point[mid].x - point[i].x) < d; i--) { p[index++] = point[i]; } for (int i = mid+1;i<=high && (point[i].x - point[mid].x) < d; i++) { p[index++] = point[i]; } Arrays.sort(p, 0, index, new Comparator<Point>() { @Override public int compare(Point o1, Point o2) { return (int) (o1.y - o2.y); } }); for (int i = 0; i < index-1; i++) { for (int j = i+1; j < index; j++) { if ((p[j].y - p[i].y) >= d) { break; } else { d3 = distance(p[i], p[j]); if (d3 < d) { minP[0] = new Point(p[i].x, p[i].y); minP[1] = new Point(p[j].x, p[j].y); } } } } return d; } private static double distance(Point p1, Point p2) { return Math.sqrt(Math.pow(p1.x - p2.x, 2) + Math.pow(p1.y - p2.y, 2)); } }
Input:
5
Output:
4.0,4.0
3.0,5.0
1.4142135623730951
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