先掛上一題，用作例子。

(n!%(10^k))==0.

已知n，求能使上式成立的k的最大值。

例如 5！= 120  有1個0，10！= 3628800 ，有2個0。

很明顯，階乘中所有數的因子中有一個2和一個5即產生一個0。但是轉念想到，因子2明顯比5多，所有隻計算5的個數就可以。

10！ = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1，5分離出來一個5,10也分離出來一個。

下面對這個結論進行證明：
(1)當n < 5時, 結論顯然成立。
(2)當n >= 5時，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一個不含因子“5”的整數。

說白了，100！就是100/5 = 20，所以可以先提出20個5來，但是25，50,75,100還能再提出5來，即100/5^2 = 4,沒有可以提出3個5的來，所以20+4 = 24,100！末尾有24個0。

附上AC程式碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
	int t;
	ll n,sum = 0;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		sum = 0;
		cin>>n;
		for(ll i = 5;i<= n;i*= 5)
		{
			sum+= n/i;
		}
		cout<<sum<<endl;
	}
	return 0;
}
 

然後就來了這樣一個題：

zjc的ACgirls隊的隊員最近比較忙，為了能夠取得更好的比賽成績，他們制定了一個m天a掉n題的計劃，a掉一題可以是這m天的任何時候。 
為了表示對acmer事業的熱愛，隊長wc要求每天必須至少要ac掉k題，這m天每天ac掉的題數可以用一個m元組表示。 
設不同的m元組一共有c個，請問c的末尾有多少個0？（如果c是0，輸出0） 

這個題就必須考慮2了，因為2不一定比5多，也就是2和5哪個個數少就按哪個算。

這個題用高中組合數學學的插板法比較好做，先給每天安排k-1（k=0除外）個題（為何不安排k個題後面說明），剩下n-(k-1)*m道題，產生n-(k-1)*m-1個空隙（插板只插題目中間的空隙，這裡也就說明了為何前面不安排k個題目了，自己寫寫就清楚了），插進m-1個板，即C(n-(k-1)*m-1,m-1

根據前面的經驗，因子數2的個數就是（n-(k-1)*m-1）!中2的因子數減去（n-(k-1)*m-1-（m-1）） = (n-k*m)!中2的因子數再減去(m-1)!中2的因子數。計算因子為5的個數同理。

附上程式碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
	ll m,n,k;
	while(~scanf("%lld %lld %lld",&m,&n,&k))
	{
		ll x = m-1,y = n+(1-k)*m-1;
		ll sum2 = 0,sum5 = 0;
		ll ans;
		for(ll i = 2;i<= y;i*= 2)
			sum2+= y/i-(y-x)/i-x/i;
		for(ll i = 5;i<= y;i*= 5)
			sum5+= y/i-(y-x)/i-x/i;
		ans = sum2>sum5?sum5:sum2;
		printf("%lld\n",ans); 
	}
	return 0;
}