一：什麼是線性方程

線性方程也稱一次方程式，指變數均是一次冪的方程，其一般的形式是ax+by+…+cz+d=0，線性方程的本質是等式兩邊乘以任何相同的非零數，方程的本質都不受影響。因為在笛卡爾座標系上任何一個一次方程的表示都是一條直線，組成一次方程的每個項必須是常數或者是一個常數和一個變數的乘積，且方程中必須包含一個變數，因為如果沒有變數只有常數的式子是代數式而非方程式。

二：什麼是非線性方程

非線性方程，就是因變數與自變數之間的關係不是線性的關係，這類方程很多，平方關係x^2、對數關係log(x)、指數關係2^x、三角函式關係sin(x)等等。例如e^x-con(x)=0就是一個非線性方程。與線性方程相比，無論是解的存在性，還是求解的計算公式，非線性方程都要複雜得多。

三：非線性方程的應用

隨著科技技術的飛速發展，科學計算越來越顯示出其重要性。科學計算的應用之廣已遍及各行各業，例如氣象資料的分析影象，飛機、汽車及輪船的外形設計，高科技研究等都離不開科學計算。因此經常需要求非線性方程 f(x)=0的根。

例如我們要求導彈的軌跡y，y又與導彈的速度v，空間位置p，加速度a，時間引數t等等有關，v又可以分為vx,vy,vz，p也可以分為px,py,pz，每個變數之間不能僅僅是簡單的線性關係，如速度v和時間t之間就要考慮重力，空氣阻力等等，往往最終列出來的就是一長串非線性方程組，但是這樣的方程組的解又極具現實意義，往往科學工程經濟學的問題都會轉為對非線性方程組的求解

四：非線性方程的解法

1.實根對分法

對分法又稱二分法，設函式f(x)在[a,b]上連續，且f(a)f(b)<0，則f(x)在[a,b]上至少有一零點，這是微積分中的介值定理，也是使用對分法的前提條件。

注意：對分法演算法簡單，然而，若[a,b]上有幾個零點時，只能算出其中一個零點；另一方面，即使[a,b]上有零點，也未必有f(a)f(b)<0，這就限制了對分法的使用範圍；對分法只能計算方程的實根。

2.不動點迭代法

對給定的非線性方程f(x)=0，將它轉換成等價形式：x=φ(x).給定初始值x0，構造迭代序列x(k+1)=φ(x(k)),k=1,2,…，如果迭代收斂

lim x(k+1)=lim φ(x(k))=α

有α=φ(α),則α就是方程f(x)的根。在計算中，當|x(k+1)−x(k)|小於給定精度控制量時，取x(k+1)為方程的根。

3.牛頓迭代法

對於非線性方程f(x)=0可構造多種迭代格式x(k+1)=φ(x(k))，牛頓迭代法是藉助於對函式f(x)在x0處做泰勒展開，取其線性部分構造的一種迭代格式。
將f(x)=0在初始值x0做泰勒展開：

f(x)=f(x0)+f′(x0)/(x−x0)+f′′(x0)*(x−x0)^2/2!+…

取展開式的線性部分作為f(x)的近似，則
f(x0)+f′(x0)(x−x0)=0
假設f′(x0)≠0，則
x=x0−f(x0)/f′(x0)

因此得到牛頓迭代法的迭代格式：
x(k+1)=x(k)−f(x(k))/f′(x(k)) , k=1,2,..

4.弦截法

在牛頓迭代法中：x(k+1)=x(k)−f(x(k))/f′(x(k)),k=1,2,…
需要求解函式f(x)的一階導數，通常比較耗時，因此可用差商代替導數：

f′(x(k))=(f(x(k))−f(x(k-1))) / (x(k)−x(k-1))

給定初始值x0和x1，那麼弦截法的迭代格式為：
x(k+1) = x(k)−((x(k)−x(k-1)) * f(x(k)) / (f(x(k))−f(x(k-1)) , k=1,2,…

PS：以上內容只是對非線性方程的簡單介紹，今後會不定期更新。