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神經網路，或者深度學習演算法的引數初始化是一個很重要的方面，傳統的初始化方法從高斯分佈中隨機初始化引數。甚至直接全初始化為1或者0。這樣的方法暴力直接，但是往往效果一般。本篇文章的敘述來源於一個國外的討論帖子[1]，下面就自己的理解闡述一下。

首先我們來思考一下，為什麼在神經網路演算法（為了簡化問題，我們以最基本的DNN來思考）中，引數的選擇很重要呢？以sigmoid函式（logistic neurons）為例，當x的絕對值變大時，函式值越來越平滑，趨於飽和，這個時候函式的倒數趨於0，例如，在x=2時，函式的導數約為1/10，而在x=10時，函式的導數已經變成約為1/22000，也就是說，啟用函式的輸入是10的時候比2的時候神經網路的學習速率要慢2200倍！

為了讓神經網路學習得快一些，我們希望啟用函式sigmoid的導數較大。從數值上，大約讓sigmoid的輸入在[-4,4]之間即可，見上圖。當然，也不一定要那麼精確。我們知道，一個神經元j的輸入是由前一層神經元的輸出的加權和，xj=∑iai⋅wi+bj。因此，我們可以通過控制權重引數初始值的範圍，使得神經元的輸入落在我們需要的範圍內。

一種比較簡單、有效的方法是：權重引數初始化從區間均勻隨機取值。

(−1d√,1d√)，其中d是一個神經元的輸入數量。

為了說明這樣取值的合理性，先簡單回顧一下幾點基本知識：

1.符合均勻分佈U（a,b）的隨機變數數學期望和方差分別是——數學期望：E(X)=(a+b)/2，方差：D(X)=(b-a)²/12

2.如果隨機變數X,Y是相互獨立的，那麼Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)，如果X,Y是相互獨立的且均值為0，那麼Var(X*Y) = Var(X)*Var(Y)

因此，如果我們限制神經元的輸入訊號(xi)是均值=0，標準差=1的，那麼 

也就是說，隨機的d個輸入訊號加權和，其中權重來自於(−1d√,1d√)均勻分佈，服從均值=0，方差=1/3的正態分佈，且與d無關。所以神經元的輸入落在區間[-4,4]之外的概率非常小。

更一般的形式可以寫為： 

另外一種較新的初始值方法

根據Glorot & Bengio (2010) [4], initialize the weights uniformly within the interval [−b,b], where 

其他場景的初始值方法[2]

• in the case of RBMs, a zero-mean Gaussian with a small standard deviation around 0.1 or 0.01 works well (Hinton, 2010) to initialize the weights.

• Orthogonal random matrix initialization, i.e. W = np.random.randn(ndim, ndim); u, s, v = np.linalg.svd(W) then use u as your initialization matrix.

參考資料

[2] Bengio, Yoshua. “Practical recommendations for gradient-based training of deep architectures.” Neural Networks: Tricks of the Trade. Springer Berlin Heidelberg, 2012. 437-478.

[3] LeCun, Y., Bottou, L., Orr, G. B., and Muller, K. (1998a). Efficient backprop. In Neural Networks, Tricks of the Trade.

[4] Glorot, Xavier, and Yoshua Bengio. “Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks.” International conference on artificial intelligence and statistics. 2010.