卷積神經網路CNN是深度學習的一個重要組成部分，由於其優異的學習效能（尤其是對圖片的識別）。近年來研究異常火爆，出現了很多模型LeNet、Alex net、ZF net等等。由於大多高校在校生使用matlab比較多，而網上的教程程式碼基本都基於caffe框架或者python，對於新入門的同學來說甚是煎熬，所以本文采用matlab結合MNIst手寫資料庫完成對手寫數字的識別。本人水平有限，如有紕漏，還望各路大神，幫忙指正。 
一、卷積網路原理

1、動機

卷積神經網路（CNN）是多層感知機（MLP）的一個變種模型，它是從生物學概念中演化而來的。從Hubel和Wiesel早期對貓的視覺皮層的研究工作，我們知道在視覺皮層存在一種細胞的複雜分佈，，這些細胞對於外界的輸入區域性是很敏感的，它們被稱為“感受野”（細胞），它們以某種方法來覆蓋整個視覺域。這些細胞就像一些濾波器一樣，它們對輸入的影象是區域性敏感的，因此能夠更好地挖掘出自然影象中的目標的空間關係資訊。

此外，視覺皮層存在兩類相關的細胞，S細胞（Simple Cell）和C（Complex Cell）細胞。S細胞在自身的感受野內最大限度地對影象中類似邊緣模式的刺激做出響應，而C細胞具有更大的感受野，它可以對影象中產生刺激的模式的空間位置進行精準地定位。

視覺皮層作為目前已知的最為強大的視覺系統，廣受關注。學術領域出現了很多基於它的神經啟發式模型。比如：NeoCognitron [Fukushima], HMAX [Serre07] 以及本教程要討論的重點 LeNet-5 [LeCun98]。

2、稀疏連線

CNNs通過加強神經網路中相鄰層之間節點的區域性連線模式（Local Connectivity Pattern）來挖掘自然影象（中的興趣目標）的空間區域性關聯資訊。第m層隱層的節點與第m-1層的節點的區域性子集，並具有空間連續視覺感受野的節點（就是m-1層節點中的一部分，這部分節點在m-1層都是相鄰的）相連。可以用下面的圖來表示這種連線。

假設，m-1層為視網膜輸入層（接受自然影象）。根據上圖的描述，在m-1層上面的m層的神經元節點都具有寬度為3的感受野，m層每一個節點連線下面的視網膜層的3個相鄰的節點。m+1層的節點與它下面一層的節點有著相似的連線屬性，所以m+1層的節點仍與m層中3個相鄰的節點相連，但是對於輸入層（視網膜層）連線數就變多了，在本圖中是5。這種結構把訓練好的濾波器（corresponding to the input producing the strongest response）構建成了一種空間區域性模式（因為每個上層節點都只對感受野中的，連線的區域性的下層節點有響應）。根據上面圖，多層堆積形成了濾波器（不再是線性的了），它也變得更具有全域性性了（如包含了一大片的畫素空間）。比如，在上圖中，第m+1層能夠對寬度為5的非線性特徵進行編碼（就畫素空間而言）。

3、權值共享

在CNNs中，每一個稀疏濾波器hi在整個感受野中是重複疊加的，這些重複的節點形式了一種特徵圖（feature map）,這個特種圖可以共享相同的引數，比如相同的權值矩陣和偏置向量。 

在上圖中，屬於同一個特徵圖的三個隱層節點，因為需要共享相同顏色的權重, 他們的被限制成相同的。在這裡， 梯度下降演算法仍然可以用來訓練這些共享的引數，只需要在原演算法的基礎上稍作改動即可。共享權重的梯度可以對共享引數的梯度進行簡單的求和得到。

二、網路的分析 
上面這些內容，基本就是CNN的精髓所在了，下面結合LeNet做具體的分析。 
結構圖： 
 
 
LeNet算上輸入輸出一共為八層，下面逐層分析。 
第一層：資料輸入層 
CNN的強項在於圖片的處理，lenet的輸入為32*32的矩陣圖片。這裡需要注意的點： 
1、資料的歸一化，這裡的歸一化是廣義的，不一定要歸到0-1，但要是相同的一個區間範圍，一般我們的灰度圖為0-255。 
2、資料的去均值，如果樣本有非零的均值，而且與測試部分的非零均值不一致，可能就會導致識別率的下降。當然這不一定發生，我們這麼做是為了增加系統的魯棒性。 
 
第二層：卷積層c1 
卷積層是卷積神經網路的核心，通過不同的卷積核，來獲取圖片的特徵。卷積核相當於一個濾波器，不同的濾波器提取不同特徵。打個比方，對於手寫數字識別，某一個卷積核提取‘一’，另一個卷積核提取‘|’，所以這個數字很有可能就判定為‘7’。當然實際要比這複雜度得多，但原理大概就是這個樣子。 
第三層：pooling層 
基本每個卷積層後邊都會接一個pooling層，目的是為了降維。一般都將原來的卷積層的輸出矩陣大小變為原來的一半，方便後邊的運算。另外，pooling層增加了系統的魯棒性，把原來的準確描述變為了概略描述（原來矩陣大小為28*28，現在為14*14，必然有一部分資訊丟失，一定程度上防止了過擬合）。 
第四層：卷積層 
與之前類似，在之前的特徵中進一步提取特徵，對原樣本進行更深層次的表達。注意：這裡不是全連線。這裡不是全連線。這裡不是全連線。X代表連線，空白代表不連。 
 
第五層：pooling層 
與之前類似。 
第六層：卷積層（全連線） 
這裡有120個卷積核，這裡是全連線的。將矩陣卷積成一個數，方便後邊網路進行判定。 
第七層：全連線層 
和MLP中的隱層一樣，獲得高維空間資料的表達。 
第八層：輸出層 
這裡一般採用RBF網路，每個RBF的中心為每個類別的標誌，網路輸出越大，代表越不相似，輸出的最小值即為網路的判別結果。 
三、卷積網路的BP訓練 
前面的都很好理解，卷積神經網路的難度在於BP過程。網上zouxy09的博文寫的很好，可以看一下，自己搞明白。傳送門：CNN的BP推導 
四、程式碼部分 
關於MNIST資料集，網上有很多現成的程式碼對其進行提取，但提取出來的都是亂序的很不利於使用。這裡有提取好的分類後的，詳情傳送門 
簡單起見，我們的程式碼選用一層卷積層。 
CNN_simple_mian.m

%%%  matlab實現LeNet-5
%%%  作者：xd.wp
%%%  時間：2016.10.22  14:29
%% 程式說明
%          1、池化（pooling）採用平均2*2
%          2、網路結點數說明：
%                           輸入層：28*28
%                           第一層：24*24（卷積）*20
%                           tanh
%                           第二層：12*12（pooling）*20
%                           第三層：100(全連線)
%                           第四層：10(softmax)
%          3、網路訓練部分採用800個樣本，檢驗部分採用100個樣本
clear all;clc;
%% 網路初始化
layer_c1_num=20;
layer_s1_num=20;
layer_f1_num=100;
layer_output_num=10;
%權值調整步進
yita=0.01;
%bias初始化
bias_c1=(2*rand(1,20)-ones(1,20))/sqrt(20);
bias_f1=(2*rand(1,100)-ones(1,100))/sqrt(20);
%卷積核初始化
[kernel_c1,kernel_f1]=init_kernel(layer_c1_num,layer_f1_num);
%pooling核初始化
pooling_a=ones(2,2)/4;
%全連線層的權值
weight_f1=(2*rand(20,100)-ones(20,100))/sqrt(20);
weight_output=(2*rand(100,10)-ones(100,10))/sqrt(100);
disp('網路初始化完成......');
%% 開始網路訓練
disp('開始網路訓練......');
for iter=1:20
for n=1:20
    for m=0:9
        %讀取樣本
        train_data=imread(strcat(num2str(m),'_',num2str(n),'.bmp'));
        train_data=double(train_data);
        % 去均值
%       train_data=wipe_off_average(train_data);
        %前向傳遞,進入卷積層1
        for k=1:layer_c1_num
            state_c1(:,:,k)=convolution(train_data,kernel_c1(:,:,k));
            %進入激勵函式
            state_c1(:,:,k)=tanh(state_c1(:,:,k)+bias_c1(1,k));
            %進入pooling1
            state_s1(:,:,k)=pooling(state_c1(:,:,k),pooling_a);
        end
        %進入f1層
        [state_f1_pre,state_f1_temp]=convolution_f1(state_s1,kernel_f1,weight_f1);
        %進入激勵函式
        for nn=1:layer_f1_num
            state_f1(1,nn)=tanh(state_f1_pre(:,:,nn)+bias_f1(1,nn));
        end
        %進入softmax層
        for nn=1:layer_output_num
            output(1,nn)=exp(state_f1*weight_output(:,nn))/sum(exp(state_f1*weight_output));
        end
       %% 誤差計算部分
        Error_cost=-output(1,m+1);
%         if (Error_cost<-0.98)
%             break;
%         end
        %% 引數調整部分
        [kernel_c1,kernel_f1,weight_f1,weight_output,bias_c1,bias_f1]=CNN_upweight(yita,Error_cost,m,train_data,...
                                                                                                state_c1,state_s1,...
                                                                                                state_f1,state_f1_temp,...
                                                                                                output,...
                                                                                                kernel_c1,kernel_f1,weight_f1,weight_output,bias_c1,bias_f1);

    end    
end
end
disp('網路訓練完成，開始檢驗......');
count=0;
for n=1:20
    for m=0:9
        %讀取樣本
        train_data=imread(strcat(num2str(m),'_',num2str(n),'.bmp'));
        train_data=double(train_data);
        % 去均值
%       train_data=wipe_off_average(train_data);
        %前向傳遞,進入卷積層1
        for k=1:layer_c1_num
            state_c1(:,:,k)=convolution(train_data,kernel_c1(:,:,k));
            %進入激勵函式
            state_c1(:,:,k)=tanh(state_c1(:,:,k)+bias_c1(1,k));
            %進入pooling1
            state_s1(:,:,k)=pooling(state_c1(:,:,k),pooling_a);
        end
        %進入f1層
        [state_f1_pre,state_f1_temp]=convolution_f1(state_s1,kernel_f1,weight_f1);
        %進入激勵函式
        for nn=1:layer_f1_num
            state_f1(1,nn)=tanh(state_f1_pre(:,:,nn)+bias_f1(1,nn));
        end
        %進入softmax層
        for nn=1:layer_output_num
            output(1,nn)=exp(state_f1*weight_output(:,nn))/sum(exp(state_f1*weight_output));
        end
        [p,classify]=max(output);
        if (classify==m+1)
            count=count+1;
        end
        fprintf('真實數字為%d  網路標記為%d  概率值為%d \n',m,classify-1,p);
    end
end

init_kernel.m

function [kernel_c1,kernel_f1]=init_kernel(layer_c1_num,layer_f1_num)
%% 卷積核初始化
for n=1:layer_c1_num
    kernel_c1(:,:,n)=(2*rand(5,5)-ones(5,5))/12;
end
for n=1:layer_f1_num
    kernel_f1(:,:,n)=(2*rand(12,12)-ones(12,12));
end
end

convolution.m

function [state]=convolution(data,kernel)
%實現卷積層操作
[data_row,data_col]=size(data);
[kernel_row,kernel_col]=size(kernel);
for m=1:data_col-kernel_col+1
    for n=1:data_row-kernel_row+1
        state(m,n)=sum(sum(data(m:m+kernel_row-1,n:n+kernel_col-1).*kernel));
    end
end
end

pooling.m

function state=pooling(data,pooling_a)
%% 實現取樣層pooling操作
[data_row,data_col]=size(data);
[pooling_row,pooling_col]=size(pooling_a);
for m=1:data_col/pooling_col
    for n=1:data_row/pooling_row
        state(m,n)=sum(sum(data(2*m-1:2*m,2*n-1:2*n).*pooling_a));
    end
end
end

convolution_f1.m

function [state_f1,state_f1_temp]=convolution_f1(state_s1,kernel_f1,weight_f1)
%% 完成卷積層2操作
layer_f1_num=size(weight_f1,2);
layer_s1_num=size(weight_f1,1);

%%
for n=1:layer_f1_num
    count=0;
    for m=1:layer_s1_num
        temp=state_s1(:,:,m)*weight_f1(m,n);
        count=count+temp;
    end
    state_f1_temp(:,:,n)=count;
    state_f1(:,:,n)=convolution(state_f1_temp(:,:,n),kernel_f1(:,:,n));
end
end

CNN_upweight.m

function [kernel_c1,kernel_f1,weight_f1,weight_output,bias_c1,bias_f1]=CNN_upweight(yita,Error_cost,classify,train_data,state_c1,state_s1,state_f1,state_f1_temp,...
                                                                                                output,kernel_c1,kernel_f1,weight_f1,weight_output,bias_c1,bias_f1)
%%%     完成引數更新，權值和卷積核
%% 結點數目
layer_c1_num=size(state_c1,3);
layer_s1_num=size(state_s1,3);
layer_f1_num=size(state_f1,2);
layer_output_num=size(output,2);

[c1_row,c1_col,~]=size(state_c1);
[s1_row,s1_col,~]=size(state_s1);

[kernel_c1_row,kernel_c1_col]=size(kernel_c1(:,:,1));
[kernel_f1_row,kernel_f1_col]=size(kernel_f1(:,:,1));
%% 儲存網路權值
kernel_c1_temp=kernel_c1;
kernel_f1_temp=kernel_f1;

weight_f1_temp=weight_f1;
weight_output_temp=weight_output;
%% Error計算
label=zeros(1,layer_output_num);
label(1,classify+1)=1;
delta_layer_output=output-label;
%% 更新weight_output
for n=1:layer_output_num
    delta_weight_output_temp(:,n)=delta_layer_output(1,n)*state_f1';
end
weight_output_temp=weight_output_temp-yita*delta_weight_output_temp;

%% 更新bias_f1以及kernel_f1
for n=1:layer_f1_num
    count=0;
    for m=1:layer_output_num
        count=count+delta_layer_output(1,m)*weight_output(n,m);
    end
    %bias_f1
    delta_layer_f1(1,n)=count*(1-tanh(state_f1(1,n)).^2);
    delta_bias_f1(1,n)=delta_layer_f1(1,n);
    %kernel_f1
    delta_kernel_f1_temp(:,:,n)=delta_layer_f1(1,n)*state_f1_temp(:,:,n);
end
bias_f1=bias_f1-yita*delta_bias_f1;
kernel_f1_temp=kernel_f1_temp-yita*delta_kernel_f1_temp;
%% 更新weight_f1
for n=1:layer_f1_num
    delta_layer_f1_temp(:,:,n)=delta_layer_f1(1,n)*kernel_f1(:,:,n);
end
for n=1:layer_s1_num
    for m=1:layer_f1_num
        delta_weight_f1_temp(n,m)=sum(sum(delta_layer_f1_temp(:,:,m).*state_s1(:,:,n)));
    end
end
weight_f1_temp=weight_f1_temp-yita*delta_weight_f1_temp;

%% 更新 bias_c1
for n=1:layer_s1_num
    count=0;
    for m=1:layer_f1_num
        count=count+delta_layer_f1_temp(:,:,m)*weight_f1(n,m);   
    end
    delta_layer_s1(:,:,n)=count;
    delta_layer_c1(:,:,n)=kron(delta_layer_s1(:,:,n),ones(2,2)/4).*(1-tanh(state_c1(:,:,n)).^2);
    delta_bias_c1(1,n)=sum(sum(delta_layer_c1(:,:,n)));
end
bias_c1=bias_c1-yita*delta_bias_c1;
%% 更新 kernel_c1
for n=1:layer_c1_num
    delta_kernel_c1_temp(:,:,n)=rot90(conv2(train_data,rot90(delta_layer_c1(:,:,n),2),'valid'),2);
end
kernel_c1_temp=kernel_c1_temp-yita*delta_kernel_c1_temp;

%% 網路權值更新
kernel_c1=kernel_c1_temp;
kernel_f1=kernel_f1_temp;

weight_f1=weight_f1_temp;
weight_output=weight_output_temp;

end

程式執行結果： 

檢驗200個，196個識別正確，4個識別錯誤。