一階RC低通濾波

從模擬到數字
本文整理自網路、《匠人手記》等書籍文章

• 類比電路低通濾波時域、頻域
• 軟體低通濾波

典型電路

圖1 典型RC電路
直流、交流、脈衝訊號都可以用它

時域

電容電流：

Ic=dqdt=d(C∙Uo)dt=CdUodt
基爾霍夫電壓定律得：
Ui=RCdUodt+Uo
Ui的單位是伏特，RC的單位為秒，τ=RC；
解得:
Uo(t)=Ui(1−e∧(−t/RC))
假設電容初始電壓值為0
R=1000Ω
C=4.7uF
Ui=1V
t=0.0001~0.1s
τ=RC
Vc(τ)=0.632

圖2 一階RC系統的階躍響應曲線

頻域

u1=Ui；u2=Uo；
以電容電壓作為輸出，電路的網路函式為：

H(jω)=U2U1=1jωCR+1jωC=11+jωRC
令ωc=1RC=1τ
ωc即為截止頻率；

幅值和相角函式：

|H(jω)|=11+(ωωc)2−−−−−−−−√ θ(ω)=−arctanωωc

各變數取值：
R=1000Ω
C=4.7uF

j=−1−−−√
ω=1RC
fc=12πRC
A(f)=1j2πfRC+1
|A(fc)|=0.707
θ(f)=180arg(A(f))π
θ(fc)=-45

f=0.001、1、…….100000

幅頻和相頻特性圖：

圖3

圖4
幅頻特性圖的對數表示：

圖5

-當ω<ωc時，幅值是平行於座標的直線，基本無衰減；　

-當ω>>ωc時，是斜率與-20dB/十倍頻成比例的一條直線；　

-當ω=ωc時，增益衰減至0.707，即-3dB，相位滯後45度，對應低通濾波器，該頻率通常被稱為截止頻率。

缺點：
採用這種模擬濾波器抑制低頻干擾時，要求濾波器有較大的時間常數和高精度的RC網路，增大時間常數要求增大R值，其漏電流也隨之增大，從而降低了濾波效果；

軟體上的一階低通濾波

優點：

-採用數字濾波演算法來實現動態的RC濾波，則能很好的克服模擬濾波器的缺點；
-在模擬常數要求較大的場合這種演算法顯得更為實用；
-其對於週期干擾有良好的抑制作用，

-比較節省RAM空間

缺點

-不足之處是帶來了相位滯後，導致靈敏度低；
-同時它不能濾除頻率高於取樣頻率的二分之一（稱為奈奎斯特頻率）的干擾（例如取樣頻率為100Hz，則它不能濾除50Hz以上的干擾訊號）對於高於奈奎斯特頻率的干擾訊號，應該採用模擬濾波器。
-對沒有乘、除法運算指令的微控制器來說，程式運算工作量較大

基本濾波演算法：

演算法由來：
頻率分析中一階RC低通濾波在S域的傳遞函式：

VoutVin=1RCs+1,(s=jω)
通過z變換（方法很多，如一階前向差分、雙線性變換等這裡用一階後向差分法）
s=1−z∧(−1)T,T表示採樣周期

帶入S域傳遞函式中：

Y(z)X(z)=1RC1−z∧(−1)T+1=TRC(1−z∧(−1))+T
推導轉化為差分方程後可得：
Y(n)=TT+RCX(n)+RCT+RCY(n−1)
通過Z變換把S域的傳遞函式轉化成時域的差分方程，分析可得到

一階RC數字濾波的基本演算法

X為輸入，Y為濾波後得輸出值，則：

Y(n)=a∗X(n)+

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