在非數論的領域，積性函式指所有對於任何a,b都有性質f(ab)=f(a)f(b)的函式。　　

在數論中的積性函式：對於正整數n的一個算術函式 f(n)，若f(1)=1，且當a,b互質時f(ab)=f(a)f(b)，在數論上就稱它為積性函式。

若對於某積性函式 f(n)，就算a, b不互質，也有f(ab)=f(a)f(b)，則稱它為完全積性的。[1]

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

這在數論中叫積性函式，當gcd(a,b)=1

如果p是素數

s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1) (1)

例 hdu1452 Happy 2004

計算因子和 s(2004^X) mod 29 ,

2004=2^2 *3 *167

2004^X=4^X * 3^X *167^X

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X)))

167%29=22

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))

a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1) //根據（1）

b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //

c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根據（1）

%運演算法則 1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p)

%運演算法則 2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) 除法的

s(2004^X)=（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2  *(22^(X+1)-1)/21

(a*b)/c %M= a%M* b%M  * inv(c)

c*inv(c)=1 %M    模為1的所有數  inv（c）為最小可以被c整除的

inv(2)=15,  inv(21)=18    2*15=1 mod 29, 18*21=1 mod 29

s(2004^X)=

         =（（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)*15 *(22^(X+1)-1)*18）mod29

b^(-1)是 b的逆元素（%p）即上面的inv

2的逆元素是15  ，因為2*15=30 % 29=1 % 29

21的逆元素是18  ，因為21*18=378% 29 =1 % 29

因此

a=（powi(2,2*x+1,29)-1）% 29;

b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 % 29;

c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 % 29;

ans=（a*b）% 29*c % 29;

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cmath>  
  
using namespace std;  
  
int _pow( int a, int n )  
{  
    int b = 1;  
    while( n > 1 )  
        if( n % 2 == 0 )  
        {  
            a = ( a * a ) % 29;  
            n /= 2;  
        }  
        else  
        {  
            b = b * a % 29;  
            n--;  
        }  
        return a * b % 29;  
}  
int main()  
{  
    int X;  
    int a, b, c;  
    while( scanf("%d",&X), X )  
    {  
        a = _pow( 2, 2 * X + 1 );  
        b = _pow( 3, ( X + 1 ) );  
        c = _pow( 22, ( X + 1 ) );  
        printf("%d\n",( a - 1 ) * (( b - 1 ) * 15) * ( c - 1 ) * 18 % 29) ; 
    }  
    return 0;  
}

性質1

　　積性函式的值完全由質數的冪決定，這和算術基本定理有關。

即是說，若將n表示成質因子分解式

則有

性質2

若f為積性函式且有

則f為完全積性函式。

積性

　　φ(n) －尤拉函式，計算與n互質的正整數之數目

　　μ(n) －莫比烏斯函式，關於非平方數的質因子數目

　　gcd(n,k)－最大公因子，當k固定的情況

　　d(n) －n的正因子數目

　　σ(n) －n的所有正因子之和

　　σk(n)－因子函式，n的所有正因子的k次冪之和，當中k可為任何複數。

　　1(n) －不變的函式，定義為 1(n) = 1 （完全積性）

　　Id(n)－單位函式，定義為 Id(n) = n（完全積性）

　　Idk(n)－冪函式，對於任何複數、實數k，定義為Idk(n) = n^k（完全積性）

　　ε(n) －定義為：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。別稱為“對於狄利克雷卷積的乘法單位”（完全積性）

　　λ(n) －劉維爾函式，關於能整除n的質因子的數目

　　γ(n)，定義為γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函式ω(n)是不同能整除n的質數的數目

另外，所有狄利克雷特徵均是完全積性的[1]

非積性

　　馮·曼戈爾特函式：當n是質數p的整數冪，Λ(n)=ln(p)，否則Λ(n)=0

　　不大於正整數n的質數的數目π(n)

　　整數拆分的數目P(n)：一個整數能表示成正整數之和的方法的數目[2]