2-3樹

　　2-3樹是一棵自平衡的多路查詢樹，它並不是一棵二叉樹，具有如下性質：

（1）每個節點有1個或2個key，對應的子節點為2個子節點或3個子節點；

（2）所有葉子節點到根節點的長度一致；

（3）每個節點的key從左到右保持了從小到大的順序，兩個key之間的子樹中所有的key一定大於它的父節點的左key，小於父節點的右key。

　　如下圖所示，

　　為什麼會有2-3樹這種資料結構呢？是因為他的查詢複雜度比平衡二叉樹還高嗎？

　　其實不是的，實際上2-3樹的查詢時間複雜度也是為 O(logN) ，而出現這種多路查詢樹，主要是跟記憶體與磁碟互動有關。我們知道在記憶體IO的速度比磁碟IO要快的多的多，但是同樣空間大小的記憶體比硬碟要貴的多的多，像TB級別的資料庫不可能全部讀出來放到記憶體中去，太過昂貴，而且也沒必要，大部分資料是不經常用的，所以就需要記憶體與外存互相結合，而如果用平衡二叉樹這種資料結構，在大資料量的情況下，樹肯定會很高，此時查個數據對磁碟讀個幾千上萬次那肯定是不行的（有人可能說把資料的索引檔案全部放到記憶體中，然後把源資料放在硬碟中，這樣在記憶體中定位到源資料Id，然後去外存中取源資料，這樣肯定是不行的，不要以為索引檔案很小，像搜尋引擎的倒排索引檔案比原始檔還要大），所以用多路查詢樹這種資料結構，高階的情況下，樹不用很高就可以標識很大的資料量了，檢索次數就大大減少了，用這種資料結構去磁碟中存取資料，磁碟IO次數的次數也會很少。

　　因為2-3樹是一棵自平衡的多路查詢樹，所以構建跟維繫一棵2-3樹，就比二叉平衡樹要複雜的多了。

　　2-3樹的插入操作，首先一定是在葉子節點，另外如果2-3樹中已存在當前插入的key，則插入失敗， 下面就在這兩點的前提下，進行2-3樹插入流程的分析：

（1）如果待插入的節點只有1個key，則直接插入即可；

（2）如果待插入的節點有2個key，則對節點進行分裂，即2個key加上待插入的key，這3個key分裂成1個key跟兩個子節點，然後將分裂之後的3個key中的父節點看作向上層插入的key，然後重複（1）、（2）步驟，直到滿足2-3樹的定義性質。

　　如下圖所示，插入“7”，而此時節點“5”只有一個key，則直接插入即可，形成節點“5 7”。

​　　此時如果再插入“6”，而節點“5 7”已經有2個key了，所以需要先進行分裂。

　　“5 7”節點與新插入的“6”分裂之後，如下圖所示，

　　此時需要將“6”向父節點插入，而父節點“13 30”又包含2個key，則需要再次分裂，即如下圖所示，“13 30”與“6”分裂成父節點為“13”，子節點為“6”跟“30”

　　再將節點“13”看作向父節點插入，而此時父節點“50”只有一個key，則將“13”與“50”直接合並即可，如下圖所示，完成節點的插入調整，如下圖所示

　　2-3樹節點的插入應該還算簡單，最好是自己再去找幾個2-3樹的圖自己手畫一下插入過程，加深下印象。下面再講2-3樹節點的刪除。

　　關於2-3樹節點的刪除，首先，如果刪除的key不存在，則刪除失敗，然後在此前提下來分析節點的刪除。跟講平衡二叉樹的節點刪除類似，總結也是兩個判斷：①刪除的是什麼節點？②刪除了節點之後是否符合滿足2-3樹的性質？

​　　2-3樹有4種節點：1.僅1個key的葉子節點；2.有 2個key的葉子節點；3.僅1個key的非葉子節點；4.有2個key的非葉子節點。即 1個key與2個key的節點 和 是否為葉子節點 的組合。下面就從簡單到複雜的情況開始分析：

（1）當刪除的節點是2個key的葉子節點，則將要刪除的目標key刪除即可，此時原來待刪除的2個key的葉子節點，變成1個key的葉子節點，但是符合2-3樹；

（2）當刪除的節點是2個key的非葉子節點，則此時使用中序遍歷找到待刪除節點的後繼節點，然後將後繼節點與待刪除節點位置互換，此時就將問題轉化為刪除節點為葉子節點（平衡樹的非葉子節點中序遍歷後繼節點肯定葉子節點），如果該葉子是2個key，則跟情況（1）一樣，如果該節點是隻有1個key，則跟後面的情況（4）一樣；

（3）當刪除的節點是1個key的非葉子節點，實際上操作跟情況（2）是一樣的，即使用中序遍歷找到待刪除節點的後繼節點，然後將後繼節點與待刪除節點位置互換，此時問題轉化為刪除節點為葉子節點；

（4）當刪除的節點是1個key的葉子節點，則將節點刪除，此時樹肯定不滿足2-3樹的性質，也即肯定需要調整，但要分情況來進行調整，而總結起來就是當前待刪除的1個key的葉子節點，兄弟節點與父節點，分別是1個key還是2個key，即：

　　a.當父節點是1個key（即此時僅有一個兄弟節點），兄弟節點是2個key，則將兄弟節點的一個key上移成父節點，而父節點下移成子節點，也即跟2個key中插入新節點類似，拆成一父兩子，此時樹滿足2-3樹，完成調整。

　　b.當父節點是1個key，兄弟節點也是1個key，則此時將父節點與兄弟節點合併，將合併後的節點看成當前節點，然後重複（4）的判斷，即判斷合併後的當前節點的兄弟節點與父節點的情況，然後走對應的a.b.c處理，直到滿足2-3樹，完成調整。

　　c.當父節點是2個key，即此時有兩個兄弟節點，而兄弟節點又可能有多種情況，窮舉起來有：刪除節點的位置左中右3個，以及另外兩個兄弟節點是否為1個key或2個key的4種情況，總共3*4=12種。即，

　　　　i.若刪除的是左或右節點，且中間節點只有1個key，則此時父節點的一個key下移，與中間節點合併，此時父節點為1個key，兩個子節點，樹滿足2-3樹，完成調整；

​　　　　ii.若刪除的是左或右節點，且中間節點有2個key，則此時父節點的一個key下移，中間節點的一個key上移與父節點合併，此時父節點為2個key，3個子節點，樹滿足2-3樹，完成調整；

　　　　iii.若刪除的是中間節點，且右節點只有1個key，則此時父節點的一個key下移，與右節點合併，此時父節點為1個key，兩個子節點，樹滿足2-3樹，完成調整；

　　　　iv.若刪除的是中間節點，且右節點有2個key，則此時父節點的一個key下移，右節點的一個key上移與父節點合併，此時父節點為2個key，3個子節點，樹滿足2-3樹，完成調整。

　　　　計：i與ii刪除左或右節點兩種情況，中間節點1個key或2個key兩種情況，兄弟節點1個key或2個key兩種情況，總共 2x2x2=8 種；刪除中間節點一種情況，iii與iv右節點1個key或2個key兩種情況，左節點1個或2個key兩種情況，總共 1x2x2=4 種； 4+8=12 種全齊，雖然場景有12種，但是處理的方式只有2種，一種是父節點下移與子節點合併，另一種是父節點下移成單獨一個子節點，然後2個key的子節點上移一個key與父節點合併。

​

　　還是畫幾個圖演示一下吧，如下圖所示，最簡單的刪除情況（1），待刪除的節點是2個key，直接對節點的key “5” 刪除即可，

　　若刪除節點是情況（2），如下圖所示，刪除“100”，而且此時“100”是非葉子節點且2個key，則找到後繼節點“120”與“100”互換位置，然後刪除“100”

　　結果如下圖所示，將問題轉化為刪除一個key的葉子節點，且父節點為2個key，即為情況（4），刪除的節點為右節點，且中間節點為一個key，也即為情況（4）中c的i，所以此時需要將父節點的一個key下移與中間節點合併

　　結果如下圖所示，將父節點的一個key “120”下移，與中間節點“80”合併，最後如下右圖所示，2-3樹調整完成。

　　再講另外一種，情況（4）中c的iv，如下圖所示，刪除節點“22”，而右兄弟節點是2個key，則需要將父節點的“30”下移成中間節點，然後右兄弟的一個key“40”上移與父節點合併，

　　此時情況（4）中c的iv調整結果如下右圖所示，

　　最後再講一種節點刪除的情況，就是滿二叉樹的情況，根據定義的性質，滿二叉樹也符合2-3樹，如果當滿二叉樹要刪除葉子節點時，是符合情況（4）中的b的，即將父節點與兄弟節點合併，此時樹的層數顯然不平衡，即，將合併後的節點看作被刪除的當前節點，而當前節點的兄弟節點與父節點依然是都是一個key，符合情況（4）的b，將父節點與兄弟節點合併，直至樹平衡。

　　另外，實際上節點刪除的情況中（2）（3）是可以整合到一起去處理的，即，刪除節點是非葉子節點，無論待刪除節點的key數是多少，都用中序排序找到後繼節點，然後把問題轉化為刪除一個key的葉子節點去處理。

​　　備註：對於節點刪除中的（4）的 b 可能沒講明白，再補充說明一下，如下圖刪除節點“10”，符合（4）的 b 情況，則父節點“13”與兄弟節點“18”合併，

　　合併之後如下圖所示，此時符合（4）中 c 的 ii 情況，則父節點的key“22”下移，中間節點的key“30”上移，

​　　變換結果如下圖所示，此時2-3樹已經調整完成。這裡需要注意的點是，由於之前說父子節點key的上下移對於葉子節點來說並沒有子節點，但對於非葉子節點的變換是對應左旋與右旋的，所以上一步的變換，是以節點“22”做左旋操作，由父節點“降級”為子節點，而原本子節點“30”晉升為父節點，並將“30”的左子節點出讓給“22”作為右子節點。

2-3-4樹

　　2-3-4樹只是在2-3樹的基礎上進行了擴充套件。2-3-4樹也是一棵自平衡的多路查詢樹，具有如下性質：

（1）任一節點只能是1個或2個或3個key，對應的子節點為2個子節點或3個子節點或4個子節點；

（2）所有葉子節點到根節點的長度一致；

（3）每個節點的key從左到右保持了從小到大的順序，兩個key之間的子樹中所有的key一定大於它的父節點的左key，小於父節點的右key，對於3個key的節點，兩兩key之間也是如此。

　　如下圖所示，

　　2-3-4樹插入節點跟刪除節點的處理，實際上跟2-3樹很像，特別是插入節點，基本上跟2-3樹是一模一樣，只是分裂的條件由2個key變成了3個key而已，即，

（1）如果待插入的節點不是3個key，則直接插入即可；

（2）如果待插入的節點有3個key，則對節點進行分裂，即3個key加上待插入的key，這4個key分裂成1個key跟2個子節點，然後將分裂之後的4個key中的父節點看作向上層插入的key，然後重複（1）、（2）步驟，直到滿足2-3-4樹的定義性質。

　　如下圖所示，插入“125”，而此時待插入節點有3個key，需要對節點進行分裂，

　　“100 125 130”節點分裂之後，如下圖所示，分裂成父節點“120”與兩個子節點“100”與“125 130”，此時將父節點“120”看作向上層插入的key，

　　而又由於“120”的上層節點是“60 70 80”是3個key的節點，則需要對3個key節點進行分裂，如下圖所示，分裂成父節點”70”與子節點“60”與“80 120”，

　　將父節點“70”看作向上層插入的key，此時上層節點“22 50”是2個key，則直接插入即可，結果如下圖所示，此時滿足2-3-4樹，完成調整。

　　2-3-4樹節點的插入就差不多這樣了，也比較簡單的，其實從前面到這裡可以看出一些規律，就是不管是二叉查詢樹也好，平衡二叉樹，以及2-3樹的節點插入，相對來說都算簡單，但是對於一棵樹節點的刪除卻比較複雜，有的甚至需要不斷的回溯到根節點才能把樹調整平衡。

　　所以，關於2-3-4樹節點的刪除也不簡單，至少比節點的插入要複雜麻煩的多，但這裡就講個大概，類比2-3樹節點刪除去推就可以推出來，思路是一致的。

　　2-3-4樹節點的刪除，首先，如果刪除的key不存在，則刪除失敗。類比2-3樹總結也是兩個判斷：①刪除的是什麼節點？②刪除了節點之後是否符合滿足2-3-4樹的性質？

　　2-3-4樹有4種節點，1個key與非1個key的節點 和 是否為葉子節點 的組合，即：1.非1個key的葉子節點；2.僅1個key的葉子節點；3.非1個key的非葉子節點；4.僅1個key的非葉子節點。

　　2-3-4節點刪除操作：

（1）當刪除的節點是非1個key的葉子節點，則將要刪除的目標key刪除即可；

（2）當刪除的節點是非葉子節點，無論待刪除節點的key是多少個，先使用中序遍歷找到待刪除節點的後繼節點，然後將後繼節點與待刪除節點位置互換，此時就將問題轉化為刪除節點為葉子節點（平衡樹的非葉子節點中序遍歷後繼節點肯定葉子節點），如果該葉子是非1個key，則跟情況（1）一樣，如果該節點是隻有1個key，則跟後面的情況（3）一樣；

（3）當刪除的節點是1個key的葉子節點，則將節點刪除，此時樹肯定需要調整，即：

　　a.當父節點是1個key（即此時僅有一個兄弟節點），兄弟節點是非1個key，則將兄弟節點的一個key上移成父節點，而父節點下移成子節點，此時樹滿足2-3-4樹，完成調整。

　　b.當父節點是1個key，兄弟節點也是1個key，則此時將父節點與兄弟節點合併，將合併後的節點看成當前節點，然後重複（3）的判斷，即判斷合併後的當前節點的兄弟節點與父節點的情況，然後走對應的a.b.c處理，直到滿足2-3-4樹，完成調整。

　　c.當父節點是非1個key，即此時有兩個或三個兄弟節點，此時看相鄰兄弟節點是否“豐滿”，也即是否為3個key，如下，

　　　　i.若刪除節點的相鄰兄弟節點為非3個key，則父節點的一個key下移，與相鄰兄弟節點合併，此時樹滿足2-3樹，完成調整；

　　　　ii.若刪除節點的相鄰兄弟節點為3個key，則父節點的一個key下移成1個key的節點，相鄰兄弟節點的一個key上移與父節點合併，此時樹滿足2-3樹，完成調整；

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　　下面畫幾個圖演示一下吧，如下圖所示，符合（3）中的 b 情況，即對兄弟節點“18”與父節點“13”合併，

　　合併之後，如下圖所示，此時符合（3）中 c 的 ii 情況，即對節點“22”做左旋操作（參考2-3樹文章最後的備註部分），

　　左旋結果如下圖所示，此時2-3-4樹調整完成。

　　最後再重複一點，關於2-3-4樹節點刪除情況（3）中的 b ：“將合併後的節點看成當前節點，然後重複（3）的判斷，即判斷合併後的當前節點的兄弟節點與父節點的情況” 這句話，由於此時合併後的當前節點，其兄弟節點，是帶有子節點的，所以此時重複（3）的判斷之後，如果是 c 中的 i 或 ii 情況，對於（兄弟）key的上移與（父）key的下移，對應的子節點是需要出讓的，即此時的變換，實際上為左旋或右旋，具體是左旋還是右旋，看對應的場景。