傅立葉變換時數字訊號處理的重要方法之一，是法國數學家傅立葉在1807年在法國科學學會上發表的一篇文章中所提出的，在文章中使用了正弦函式描述溫度分佈，而且提出了一個著名的論斷：任何連續性的週期訊號都可以由一組適當的正弦曲線組合而成。而這個論斷被當時審查論文的著名數學家拉格朗日所否定，拉格朗日認為正弦函式無法組合成一個個帶有稜角的訊號，但是從無限逼近的角度考慮，可以使用正弦函式來非常逼近期直到表示方法不存在明顯差異，這篇論文最終在在拉格朗日死後15年之久才得以發表。

傅立葉變換的分類

根據訊號是是週期性以及連續還是離散的特點，將傅立葉變換進行延伸，變換分為如下四種

另外，根據使用的是實數還是複數，有分為實數傅立葉變換和複數傅立葉變換。

主要特點：FS

用於分析連續週期訊號。時域上任意連續的週期訊號可以分解為無限多個正弦訊號之和，在頻域上就表示為離散非週期的訊號，即時域連續週期對應頻域離散非週期的特點。

主要特點：FT

主要用於分析連續非週期訊號，由於訊號是非週期的，它必包含了各種頻率的訊號，所以具有時域連續非週期對應頻域連續非週期的特點。
FS和FT 都是用於連續訊號頻譜的分析工具，都以傅立葉級數理論問基礎推匯出的。時域上連續的訊號在頻域上都有非週期的特點，但對於週期訊號和非週期訊號又有在頻域離散和連續之分。

主要特點：DTFT

它用於離散非週期序列分析，根據連續傅立葉變換要求連續訊號在時間上必須可積這一充分必要條件，那麼對於離散時間傅立葉變換，用於它之上的離散序列也必須滿足在時間軸上級數求和收斂的條件；由於訊號是非週期序列，它必包含了各種頻率的訊號，所以DTFT對離散非週期訊號變換後的頻譜為連續的，即有時域離散非週期對應頻域連續週期的特點。

主要特點：DFT

假設了序列的週期無限性，但在處理時又對區間作出限定（主值區間），以符合有限長的特點，這就使DFT帶有了週期性。另 外，DFT只是對一週期內的有限個離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當於DTFT變換成連續頻譜後再對其取樣，此時取樣頻率等於序列延拓後的週期N，即主值序列的個數。

離散傅立葉變換DFT

DFT用於將訊號從時域變換為頻域，而且時域與頻域都是離散的，可以確認出一個訊號是由哪些正弦波疊加而成，而這些結果者反應為正弦波的振幅和相位等資訊。而至於時域與頻域，前者表示的是訊號隨時間動態變化的關係，在這種分析方式下，往往會隨著時間的不同訊號呈現不同的狀態變化。而頻域可以理解為正弦波的振幅，從傅立葉的論斷中我們瞭解到，任何周期函式，都可能是由不同振幅和不同相位與角頻率的正弦波的疊加，頻域分析的一個主要結果是頻譜，常見的頻譜有兩種：振幅相關的頻譜與相位相關的頻譜。比如正弦曲線可表示為y=Asin(ωx+φ)+k，具體的實際意義如下所示：

理解輔助：變形的諧波函式

諧波（harmonic wave）是指電流中所含有的頻率為基波的整數倍的電量，一般是指對週期性的非正弦電量進行傅立葉級數分解，其餘大於基波頻率的電流產生的電量。如下可以看出動態的三角函式的圖形變換，可以加深對傅立葉論斷的理解。

理解輔助：振幅的頻譜

而至於如何求取頻譜，由於三角函式具有正交性，相互之間不具影響，根據此特性結合下圖，對於振幅的頻譜則可有直觀的瞭解。而至於初相相關的頻譜，可以以此為基礎，不難理解。

快速傅立葉變換FFT

FFT（Fast Fourier Transform）實際只是DFT的改善。是1965年由庫利和圖基共同提出的一種快速計算DFT的方法。這種方法充分利用了DFT運算中的對稱性和週期性，從而將DFT運算量從N2減少到N*log2N。當N比較小時，FFT優勢並不明顯。但當N大於32開始，點數越大，FFT對運算量的改善越明顯。比如當N為1024時，FFT的運算效率比DFT提高了100倍。

應用領域和侷限

傅立葉變化在很多領域都有很好的應用，比如影象優化和音訊降噪等等，但是由於傅立葉變換的模型建立在平穩訊號基礎上的，對於非平穩訊號的分析具有很大的局現性。

參考文獻