牛頓方法(Newton's Method)
在講義《線性迴歸、梯度下降》和《邏輯迴歸》中我們提到可以用梯度下降或梯度上升的方式求解θ。在本文中將講解另一種求解θ的方法:牛頓方法(Newton's method)。
牛頓方法(Newton's method)
邏輯迴歸中利用Sigmoid函式g(z)和梯度上升來最大化ℓ(θ)。現在我們討論另一個最大化ℓ(θ)的演算法----牛頓方法。
牛頓方法是使用迭代的方法尋找使f(θ)=0的θ值,在這裡θ是一個真實的值,不是一個引數,只不過θ的真正取值不確定。牛頓方法數學表示式為:
牛頓方法簡單的理解方式為:先隨機選一個點,然後求出f在該點的切線,即f在該點的導數。該切線等於0的點,即該切線與x軸相交的點為下一次迭代的值。直至逼近f等於0的點。過程如下圖:
牛頓方法最大化Likelihood
牛頓方法提供了一種尋找f(θ)=0的θ值的方法。怎麼用於最大化似然函式ℓ (θ)呢?ℓ的最大值對應點處的一階導數ℓ'(θ)為零。所以讓f(θ) = ℓ'(θ),最大化ℓ (θ)就可以轉化為:用牛頓方法求ℓ'(θ)=0的θ的問題。由牛頓方法的表示式,θ的迭代更新公式為:
牛頓-拉夫森迭代法(Newton-Raphson method)
邏輯迴歸中θ是一個向量,所以我們把上面的表示式推廣到多維的情況就是牛頓-拉夫森迭代法(Newton-Raphson method),表示式如下:
表示式中表示的ℓ(θ)對的偏導數;H是一個n*n的矩陣,稱為Hessian矩陣。Hessian矩陣的表示式為:
牛頓方法VS梯度下降
如下圖是一個最小化一個目標方程的例子,紅色曲線是利用牛頓法迭代求解,綠色曲線是利用梯度下降法求解:
牛頓方法通常比梯度下降收斂速度快,迭代次數也少。
但因為要計算Hessian矩陣的逆,所以每次迭代計算量比較大。當Hessian矩陣不是很大時牛頓方法要優於梯度下降。
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