[洛谷P3338] [ZJOI2014]力
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題目描述
給出n個數qi，給出Fj的定義如下：
\[F_j = \sum_{i<j}\frac{q_i q_j}{(i-j)^2 }-\sum_{i>j}\frac{q_i q_j}{(i-j)^2 }\]
令Ei=Fi/qi，求Ei.
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第一行一個整數n。
接下來n行每行輸入一個數，第i行表示qi。
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n行，第i行輸出Ei。
與標準答案誤差不超過1e-2即可。
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輸入樣例#1：
5
4006373.885184
15375036.435759
1717456.469144
8514941.004912
輸出樣例#1：
-16838672.693
3439.793
7509018.566
4595686.886
10903040.872
說明
對於30%的數據，n≤1000。
對於50%的數據，n≤60000。
對於100%的數據，n≤100000，0<qi<1000000000。
[spj 0.01]
題解:
首先考慮化式子(話說這玩意求的好像是電場強度誒）.
\[F_j = \sum_{i<j}\frac{q_i q_j}{(i-j)^2 }-\sum_{i>j}\frac{q_i q_j}{(i-j)^2 }, E_j=\frac{F_j}{q_j}\]
\[E_j=\sum_{i=0}^{n-1}q_i*\frac{1}{(j-i)^2}-\sum_{i=j+1}^{n-1}q_i*\frac{1}{(i-j)^2}\]
不妨設\(b_i=\frac{1}{i^2}\),則有\[E_j=\sum_{i=0}^{n-1}q_i*b_{j-i}-\sum_{i=j+1}^{n-1}q_i*b_{i-j}\]
前面一半兩個符號相乘的下標之和是一個常數,也就是如果將\(q,b\)看成多項式的話,那麽這個乘積就可以做卷積.因為若\((a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_{n-1}*x^{n-1})*(b_0+b_1*x+b_2*x^2+...+b_{n-1}*x^{n-1})=c_0+c_1*x+c_2*x^2+...+c^{2n-1}*x^{2n-1}\),則有\(c_k=\sum^k_{i=0}a_i*b_{k-i}\)
那麽為了將後面的式子也轉化成卷積的形式,我們可以將後面的\(q\)數組翻轉一下,用\(q^{'}(q^{'}_i=q_{n-1-i})\)來代替,則有:\[E_j=\sum_{i=0}^{n-1}q_i*b_{j-i}-\sum^{n-1}_{i=j+1}q^{'}_{n-i-1}*b_{i-j}\]
那麽後面那一半也變成了卷積的形式,就可以直接FFT求了.如果將\(b\)數組乘入\(q\)數組,那麽最後的\(E_i\)對應著\(q_i-q^{'}_{n-i-1}\).
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e6+5;
const double eps = 1e-4;
const double pi = acos(-1.0);
typedef complex <double> comp;
int n, m, len = 0, r[N];
comp q1[N], q2[N], b1[N], b2[N];
void FFT(comp *A, int f){
for(int i = 0; i < m; i++) if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]);
for(int i = 1; i < m; i <<= 1){
for(int j = 0; j < m; j += (i<<1)){
comp wi(cos(pi/i), sin(f*pi/i)), x, y, w(1, 0);
for(int k = 0; k < i; k++, w *= wi){
x = A[j+k], y = w*A[i+j+k];
A[j+k] = x+y, A[i+j+k] = x-y;
}
}
}
if(f == -1) for(int i = 0; i < m; i++) A[i] /= m;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
double x; cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i++) cin >> x, q2[n-i-1] = q1[i] = x;
for(int i = 1; i <= n; i++) b1[i] = b2[i] = (double)(1.0/i/i);
for(m = 1; m <= n*2; m <<= 1) len++;
for(int i = 0; i < m; i++) r[i] = (r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(len-1));
cerr << endl;
FFT(q1, 1), FFT(b1, 1), FFT(q2, 1), FFT(b2, 1);
for(int i = 0; i < m; i++) q1[i] *= b1[i], q2[i] *= b2[i];
FFT(q1, -1), FFT(q2, -1);
for(int i = 0; i < n; i++) printf("%.3lf\n", q1[i].real()-q2[n-i-1].real());
return 0;
}[洛谷P3338] [ZJOI2014]力