從求解快速排序算法遞推方程的過程中，我們可以看到，遞推方程不能求出精確的解。即便如此，如果可以用某種方法估算出函數的階，那麽這對於算法分析的工作依然具有意義。本文即介紹了這樣一種估算方法，稱為遞歸樹。

遞歸樹是一棵結點帶權的二叉樹。它是叠代計算的一種模型，也是其圖形表示。其生成過程與叠代過程是一致的，且樹上所有項恰好是叠代之後產生的和式的項。因此，對遞歸樹上的項求和就是叠代後方程的解。運用遞歸樹來估算遞推方程的解，可以使求解過程簡潔、清晰。下面我們來具體了解遞歸樹的生成規則，並通過幾項例子理解遞歸樹的運用。

一、遞歸樹的生成

遞歸樹的生成規則如下：

1. 初始時，只有根節點，權標記為W(n)
2. 不斷進行如下叠代：將函數項葉結點的叠代式W(m)表示成二層子樹（如圖1），用該子樹替換葉結點。
3. 繼續遞歸樹的生成，直到樹中沒有函數項（樹葉都變為W(1)）為止。

從遞歸樹的生成過程不難看出，整個叠代過程中，遞歸樹中全部結點的權之和不變，總是等於W(n)。為計算最終所有結點權值之和，可以采用分層計算的方法。

二、遞歸樹的計算

例 求解遞推方程T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n

在這項例子中，方程右部的兩項不一樣，無法合並。使用叠代法歸納求解不是很方便，而用遞歸樹的方法則更加直觀。

首先生成遞歸樹如圖2所示。

設樹的層數為k，則n * (2 / 3)^k = 1，解得k = log_3/2

算法分析基礎——遞歸樹求解遞推方程