質數又稱素數。指在一個大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他自然數整除的數。換句話說，只有兩個正因數（1和自己）的自然數即為素數。比1大但不是素數的數稱為合數。1和0既非素數也非合數。合數是由若干個質數相乘而得到的。所以，質數是合數的基礎，沒有質數就沒有合數。

【1】一般方法

素數是除了1和它本身之外再不能被其他數整除的自然數。由於找不到一個通項公式來表示所有的素數，所以對於數學家來說，素數一直是一個未解之謎。像著名的 哥德巴赫猜想、孿生素數猜想，幾百年來不知吸引了世界上多少優秀的數學家。儘管他們苦心鑽研，嘔心瀝血，但至今仍然未見分曉。
自從有了計算機之後，人們藉助於計算機的威力，已經找到了2216091以內的所有素數。
求素數的方法有很多種，最簡單的方法是根據素數的定義來求。對於一個自然數N，用大於1小於N的各個自然數都去除一下N，如果都除不盡，則N為素數，否則N為合數。
但是，如果用素數定義的方法來編制計算機程式，它的效率一定是非常低的，其中有許多地方都值得改進。
第一，對於一個自然數N，只要能被一個非1非自身的數整除，它就肯定不是素數，所以不
必再用其他的數去除。
第二，對於N來說，只需用小於N的素數去除就可以了。例如，如果N能被15整除，實際
上就能被3和5整除，如果N不能被3和5整除，那麼N也決不會被15整除。
第三，對於N來說，不必用從2到N一1的所有素數去除，只需用小於等於√N(根號N)的所有素數去除就可以了。這一點可以用反證法來證明：
如果N是合數，則一定存在大於1小於N的整數d1和d2，使得N=d1×d2。
如果d1和d2均大於√N，則有：N＝d1×d2>√N×√N＝N。
而這是不可能的，所以，d1和d2中必有一個小於或等於√N。
基於上述分析，設計演算法如下：
(1)用2，3，5，7逐個試除N的方法求出100以內的所有素數。
(2)用100以內的所有素數逐個試除的方法求出10000以內的素數。
首先，將2，3，5，7分別存放在a[1]、a[2]、a[3]、a[4]中，以後每求出一個素數，只要不大於100，就依次存放在A陣列中的一個單元 中。當我們求100—10000之間的素數時，可依次用a[1]－a[2]的素數去試除N，這個範圍內的素數可以不儲存，直接列印。

【2】我們這裡主要是講解厄拉多塞篩法：

簡單介紹一下厄拉多塞篩法。厄拉多塞是一位古希臘數學家，他在尋找素數時，採用了一種與眾不同的方法：先將2－N的各數放入表中，然後在2的上面畫一個圓圈，然後劃去2的其他倍數；第一個既未畫圈又沒有被劃去的數是3，將它畫圈，再劃去3的其他倍數；現在既未畫圈又沒有被劃去的第一個數 是5，將它畫圈，並劃去5的其他倍數……依次類推，一直到所有小於或等於N的各數都畫了圈或劃去為止。這時，表中畫了圈的以及未劃去的那些數正好就是小於 N的素數。


這很像一面篩子，把滿足條件的數留下來，把不滿足條件的數篩掉。由於這種方法是厄拉多塞首先發明的，所以，後人就把這種方法稱作厄拉多塞篩法。
在計算機中，篩法可以用給陣列單元置零的方法來實現。具體來說就是：首先開一個數組：a[i]，i=1，2，3，…，同時，令所有的陣列元素都等於下標 值，即a[i]=i，當i不是素數時，令a[i]=0 。當輸出結果時，只要判斷a[i]是否等於零即可，如果a[i]=0，則令i=i+1，檢查下一個a[i]。
篩法是計算機程式設計中常用的演算法之一。

C++程式碼參考（求小於2000的素數）：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>

using namespace std;

#define N  2000

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{

	int num[N];

	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		num[i] = i;
	}

	for (int j = 2; j < N; j++)
	{
		if(0 != num[j])
		{
			for (int k = 2; k*j < N; k++)
			{
				num[k*j] = 0;
			}
		}
	}

	for (int n = 0; n < N; n++)
	{
		if(0 != num[n])
		{
			cout<<" "<<num[n];
		}
	}

	cout<<endl;
	return 0;
}
 

與質數有關的猜想

哥德巴赫猜想
　　哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可以分為兩個猜想（前者稱“強”或“二重哥德巴赫猜想”後者稱“弱”或“三重哥德巴赫猜想”)：1、每個不小於6的偶數都可以表示為兩個奇素數之和；2、每個不小於9的奇數都可以表示為三個奇質數之和。
黎曼猜想
　　黎曼猜想是一個困擾數學界多年的難題，最早由德國數學家波恩哈德·黎曼提出，迄今為止仍未有人給出一個令人完全信服的合理證明。即如何證明“關於質數的方程的所有意義的解都在一條直線上”。
　　此條質數之規律內的質數月經過整形，“關於質數的方程的所有意義的解都在一條直線上”化為球體質數分佈。
孿生質數猜想
　　1849年，波林那克提出孿生質數猜想（the conjecture of twin primes），即猜測存在無窮多對孿生質數。
　　猜想中的“孿生質數”是指一對質數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生質數。
　　10016957和10016959是發生在第333899位序號質數月的中旬[18±1]的孿生質數。
　　質數月定位孿生質數發生位置：
　　首個質數月孿生質數發生位置：[T-1]*30+【[4±1] [6±1] [12±1] [18±1] [30±1] 】 T=1
　　其餘質數月孿生質數發生位置：[T-1]*30+【[0±1] [12±1] [18±1] [30±1] 】 T=N是自然數代表質數月

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