【題目】

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

【分析】

這是一道動態規劃的題目，求一個三角形二維陣列從頂到低端的最小路徑和。

我們從低端向頂端計算。設狀態為 S[i][j]表示從從位置 ( i, j ) 出發，到最低端路徑的最小和

狀態轉移方程：
S[i][j] = min(S[i+1][j] + S[i+1][j+1]) +S[i][j]

S[0][0]就是要求解的答案。

時間複雜度 O(n^2) ，空間複雜度 O(1)

【程式碼】

    /**------------------------------------
    *   日期：2015-02-03
    *   作者：SJF0115
    *   題目: 120.Triangle
    *   網址：https://oj.leetcode.com/problems/triangle/
    *   結果：AC
    *   來源：LeetCode
    *   部落格：
    ---------------------------------------**/
    #include <iostream>
    #include <vector>
    #include <algorithm>
    using namespace std;

    class Solution {
    public:
        int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
            int size = triangle.size();
            // down-to-top
            // 第i層
            for(int i = size - 2;i >= 0;--i){
                // 第i層的第j個元素
                for(int j = 0;j <= i;++j){
                    triangle[i][j] += min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1]);
                }//for
            }//for
            return triangle[0][0];
        }
    };

    int main(){
        Solution s;
        vector<vector<int> > triangle = {{2},{3,4},{6,5,3},{4,1,8,3}};
        int result = s.minimumTotal(triangle);
        // 輸出
        cout<<result<<endl;
        return 0;
    }
 

【思路二】

一位網友說：雖然是O(1)的空間複雜度，但其實破壞了三角形本身啊。如果算上佔用的三角形本身的空間，實際使用的空間複雜度應該算O(N^2)了。

只求值不求本身的時候，都是可以用空間輪轉這個辦法的。如LCS、走棋盤等等一批問題，都可以這麼節省。

從上面思路的狀態轉移方程中看出：S[i][j] = min(S[i+1][j] + S[i+1][j+1]) +S[i][j]

S[i][j]只與下一行的第j個元素和第j+1個元素相關，i的關係是固定的，因此我們可以省去這一維。

開闢O(N)的陣列，然後規劃的時候使用S[j] = min(S[j+1], S[j) +Triangle[i][j]就可以了。

【程式碼二】

    /*------------------------------------
    *   日期：2015-02-03
    *   作者：SJF0115
    *   題目: 120.Triangle
    *   網址：https://oj.leetcode.com/problems/triangle/
    *   結果：AC
    *   來源：LeetCode
    *   部落格：
    ---------------------------------------*/
    class Solution {
    public:
        int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
            int size = triangle.size();
            vector<int> next(triangle.back());
            // down-to-top
            // 第i層
            for(int i = size - 2;i >= 0;--i){
                // 第i層的第j個元素
                for(int j = 0;j <= i;++j){
                    next[j] = min(next[j],next[j+1]) + triangle[i][j];
                }//for
            }//for
            return next[0];
        }
    };