Question

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:

• Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

問題解析：

給定三角形二維列表，求出從頂到底的和最小的路徑，每步只能在下一行的相鄰兩元素中選取。

Answer

Solution 1：

DP。

• 由題目可以看出，其中每一步均由上一步的問題構成，所以利用動態規劃來求解。
• 由題目條件限定，要求只能在相鄰元素中選取，觀察可知，如本行取j，則下一行在j和j+1中選取；
• 構建動態規劃陣列，儲存前一行和當前行符合題目要求的路徑和，以自底向上的方式，最終歸一到第0
  行的0元素位置。那麼動態規劃陣列的第0個元素即為最小路徑和。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int[] res = new int[triangle.size()+1];
        for (int i = triangle.size()-1; i >= 0; i--){
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++){
                res[j] = Math.min(res[j], res[j+1
 
]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }

        return res[0];
    }
}

• 時間複雜度：O(n^2)，空間複雜度：O(n)

Solution 2：

Solution 1 的空間複雜度優化。

• 通過觀察可以知道，因為最終的和儲存在動態規劃陣列的首位，我們可以直接將選取出的路徑和加到triangle的前一行中，故無需構建新的動態規劃陣列。
• 但由於需要修改triangle列表，需要set操作，相比解法一，減少了空間複雜度，卻增加了時間複雜度；

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        for (int i = triangle.size()-2; i >= 0; i--){
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++){
                triangle.get(i).set(j, triangle.get(i).get(j) + Math.min(triangle.get(i + 1).get(j), triangle.get(i + 1).get(j + 1)));
            }
        }

        return triangle.get(0).get(0);
    }
}

• 時間複雜度：O(n^2) * O(set())，空間複雜度：O(1)

Solution 3：

python 解法，DP，與解法一相同。

為了加強對Python的練習，以後的練習中都會Python的程式。

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle):
        """
        :type triangle: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        if not triangle:
            return
        res = triangle[-1]
        for i in range(len(triangle)-2, -1, -1):
            for j in range(len(triangle[i])):
                res[j] = min(res[j], res[j+1]) + triangle[i][j]

        return res[0]