一.活動選擇事例

二.例題分析

1、定義子問題
採用動態規劃的方法：

2、尋找最優子結構：
假設已經找到問題Sij最大相容活動集Aij，如果Aij中包含Ak（屬於某一活動）。則可以將Sij分成兩個子問題Sik和Ak和Skj。此時Sik和Skj的最大相容活動集Aik和Akj一定被Aij使用。因為如果Aij沒有使用Aik和Akj的話，那麼它使用的就是Sik，Skj非最大相容子集。那麼就與我們假設的Aij為最大相容子集相悖。
3、重疊子：
與《動態規劃之矩陣鏈乘法理解》一樣，我們不知道k具體是多少，所以我們要對i~j遍歷賦值給k才能找出。而遍歷過程中要重複處理相同子問題。
4、自底向上方法：

如果使用動態規劃的方法的話，我們就需要從最小子問題逐漸增大來完成所有子問題的處理：
將從子問題個數為2開始，像先前劃分矩陣鏈一樣劃分，選擇出活動只有兩個時的最優A12，A23,A34~~，然後把活動分成3、4、5、6~~長度，逐漸增大子問題長度，求解最優解（在這過程中注意使用上先前已經求解的子問題）。

三.動態規劃到貪心演算法的轉變

首先需要申明貪心演算法對大多數優化問題能夠產生最優解，但並不是對所有問題。

證明2：如果將問題Sij（已按照結束時間從小到大排列）在am處劃分，將問題Sij劃分成Sim和Smj，由於Sim已經按照結束時間排序，那Sim為空集（裡面沒有活動），子問題Smj為唯一可能的非空子問題（Smj是Sij除掉一個最早結束時間活動的結果，其中包含活動數除Sij最大）。
證明1：假設Aij（最大相容子集）中包含了am，那麼顯然得證。如果Aij中沒有am呢？此時我們構建另一個子集A：它是包含（Aij）後減去（Aij中最早結束活動ae）+（am）。此時因為am比ae結束更早，而ae又是Aij中最早結束活動，那麼am就不會與Aij中活動產生衝突。那麼A包含的活動數並不少於Aij，那麼A就是問題Sij的另一個最大相容子集。且A中包含am。此時Aij和A都是最大相容子集。這裡也說明貪心演算法的最優解只是其中一個。
理解：

貪心演算法更像是不再迴圈k值，直接把問題Sij在最早結束活動那裡劃分成兩個子問題（其中一個子問題還為空），這樣我們就不需要考慮Sim（空集），只需考慮Smj，減少計算。而且這樣做我們就可以自頂向下考慮。從最大問題，逐漸縮小子問題。

四.程式碼

圖解過程：

看我畫的兩個紅色矩形。如果兩個方塊代表兩個活動。原題中按照演算法的話會選擇a1，但是如果不按照演算法來，先選擇第一紅色矩形，那麼選擇的第二個就是第二個紅色矩形，後面的選擇跟原題一樣。但是改變初始選擇後，算出來的最大相容子集明顯比原來大1。所以說貪心演算法得到的不一定是最優解。