Bezier曲線的形狀是通過一組多邊折線（也稱Bezier多邊形或特徵多邊形）唯一定義出來的。 

在多邊折線的各頂點中，只有第一點和最後一點是在曲線上，其餘頂點用來定義曲線的導數、階次和形狀。第一條邊和最後一條邊分別與曲線在起點和終點處相切。曲線形狀趨於多邊折線的形狀。改變多邊折線的頂點位置和曲線形狀的變化有直觀的聯絡。

Bezier曲線的數學表示式定義 

n+1個頂點定義一個n次多項式，其引數向量表示式為： 

式(4-21)中，Pi為各頂點的位置向量，Bi,n(t)為伯恩斯坦基函式，即Bezier多邊形的各頂點位置向量之間的調和函式。該函式的表示式為：   

若規定：0⁰和0！均為1，則當 t=0時：

       P(0) = P₀B₀, _n(0) + P₁B₁,_n(0) + P₂B₂, _n(0) +…+ P_nB_n,_n(0) 

當t=0時，除第一項外其餘各項均為0，即：   

當t =1時：

當t =1時，除最後一項外其餘各項均為0，即：

得出結論：Bezier曲線通過多邊折線的起點和終點。

在起點t =0，式(4-25)中只有i=0, 1兩項有效，即：

同理，在終點t =1，有：P'(1) = n(P_n-P_n-1)           (4-27)

得出結論：Bezier曲線在點P₀處與邊P₀P₁相切，在點P_n處與邊P_n-1P_n相切。

Bezier曲線的性質 

                  

一次Bezier曲線 

當n=1時，頂點 P₀

         

顯然，一次Bezier曲線是一條點P₀到點P₁的直線段。

當n=2時，頂點P₀、P₁、P₂可定義一條二次(n=2)Bezier曲線。此時式(4-21)可改寫成：

            P(t) = (1–t)²P₀ + 2t(1–t)P₁ + t²P₂    (0≤t≤1)          (4-28) 

寫成矩陣形式為：

二次Bezier曲線 

由式(4-28) ，二次Bezier曲線（n=2）在起點P0處有切向量P'₀=P'(0)=2(P₁–P₀)；在終點P₂處有切向量P'₂=P'(1) = 2(P₂–P₁)。同時，當t =1/2時：

                                          

該式說明，二次Bezier曲線經過△P₀P₁P₂中的一條中線P₁P_m的中點P。並且可以看出二次Bezier曲線是一條拋物線。

三次Bezier曲線

當n=3時，頂點P₀、P₁、P₂、P₃四點可定義一條三次(n=3) Bezier曲線。此時式(4-21)可改寫為：

      P(t) = (1–t)³P₀+3t(1–t)²P₁+3t²(1–t)P₂+t³P₃  

           = (1–3t+3t²-t³)P₀+ (3t–6t²+3t³)P₁+ (3t²–3t³)P₂ + t³P₃  (0≤t≤1)       (4-29) 

寫成矩陣表示式為：  

  控制點相同但順序不同的三次Bezier曲線

移動控制點P2的Bezier曲線的不同效果

Bezier曲線的控制頂點反求

已知Bezier曲線上給定引數處的位置向量和引數階次，利用Bezier曲線的定義和端點特性，可列出一組方程，求解方程組，可得到相應的控制頂點。

例如：已知三次Bezier曲線上的4個點分別為Q₀(120, 0)，Q₁(45, 0)，Q₂(0, 45)，Q₃(0, 120), 它們對應的引數分別為0， 1/3，2/3，1，反求三次Bezier曲線的控制頂點。

 由已知條件可得方程組：

    Q₀ = P₀                               (t=0)

    Q₁ = (8/27)P₀ + (4/9)P₁ + (2/9)P₂ + (1/27)P₃    (t=1/3)

    Q₂ = (1/27)P₀ + (2/9)P₁ + (4/9)P₂ + (8/27)P₃    (t=2/3)

    Q₃ = P₃                                (t=1)

分別將Q₀、Q₁、Q₂、Q₃的x、y座標代入方程組求解，可得：

P₀(120, 0)

P₁(35, -27.5)

P₂(-27.5, 35)

P₃(0, 120)

Bezier曲線的幾何作圖法

以控制點數為4，邊數為3的控制多邊形P₀P₁P₂P₃為例：

1）分別在邊P₀P₁、P₁P₂ 、P₂P₃上找到一點P₀,₁、P₁,₁ 、P₂,₁，該點將所在的邊分成 t:(1-t) 兩部分，比如設 t =2/3。

2）然後，將3個分割點構成新的控制多邊形P₀,₁P₁,₁P_2,1，其控制點數為3，邊數為2；再以同樣的方法及同樣的比例，對邊P₀,₁P₁,₁和邊P₁,₁P₂,₁進行分割，得到分割點P₀,₂和P₁,₂。

3）最後，對邊P₀,₂P₁,₂進行相同比例的分割，得到點P_0,3。P_0,3即為由原控制多邊形P₀P₁P₂P₃所確定的三次Bezier曲線上的引數為t 的點P(t)。

4）若讓引數 t 在[0, 1]變動，並且讓△t 取一個較小的增量，如△t =0.1。迴圈多次即可作出三次Bezier曲線。

Bezier曲線的幾何作圖法示意圖以及分割點的遞推關係

Bezier曲線的幾何作圖法總結：

對於任意控制多邊形，在以P_iP_i+1為端點的第 i條邊上，找一點P_i,1(t)，把該邊分成t:(1-t) 比例，則分割點P_i,1(t)=(1-t)P_i + tP_i+1 (i=0,1,…,n-1)，這n個點組成一個新的n-1邊形，對該多邊形重複上述操作，得到一個新的n-2邊形的頂點P_i,2(t) (i=0,1,…,n-2)，依次類推，連續作n次後，得到一個單點P_i,n(t)，該點就是Bezier曲線上引數為t的點P(t)，讓t 在[0, 1]變動，就得到Bezier曲線。

Bezier曲線的拼接

                   

考慮兩條Bezier曲線的一階連續性（C¹和G¹）拼接設計：

1）由端點切向量條件：

           P’(1)=m(P_m-P_m-1)              Q’(0)=n(Q₁-Q₀)

2）若曲線P(u)與Q(w)首尾拼接達到G¹連續，必有P_m與Q₀重合，並且Q’(0)=lP’(1)  (l >0)，即：

                    Q₀=P_m       Q₁=Q₀+(λm/n)*(P_m-P_m-1)

3）上式的幾何意義：P(u)與Q(w)兩條Bezier曲線拼接達到G¹連續時，控制點P_m-1、P_m(=Q₀)和Q₁在一條直線上。

4）當λ=1時，P(u)與Q(w)兩條Bezier曲線拼接可達到C¹連續。

兩條Bezier曲線的拼接示意圖
        

Bezier曲面

             

其中，和是Bernstein基函式。

Bezier曲面的矩陣表示為：

1、雙線性Bezier曲面
 當m=n=1時，定義一張雙線性Bezier曲面：

2、雙二次Bezier曲面
 當m=n=2時，定義一張雙二次Bezier曲面，其邊界曲線及引數座標曲線均為拋物線：

3、雙三次Bezier曲面

 當m=n=3時，定義一張雙三次Bezier曲面，它由16個頂點定義，引數曲線u、v都是三次Bezier曲線，該曲面只通過4個角點P₀₀、P₃₀、P₀₃、P₃₃：