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左方之地

題目大意:
給定一個序列A\mathrm A
問一棵Treap(點的編號是有堆性質的二叉樹)x=1ndepth(x)A(x)\sum_{x=1}^n\mathrm{depth}(x)*\mathrm{A}(x)的期望值是多少。
題解:
有個結論是,一個點的深度是這樣的:
將其編號的中序遍歷寫下來,從這個點對應中序遍歷的位置向左走,一開始計數器是0,每次遇到一個更小的數字就計數器++,向右同理,最後再加個1.
那麼考慮期望的線性性,算x對答案的貢獻,等價於計算x>y對答案有貢獻的排列有多少,然後+1。
不妨欽定x在y的左邊(最後還要乘以2),列舉中間隔著幾個位置d,那麼比y小的數字都要放在兩側,剩餘的隨意選:
f

(x)=y=1x1d=0n2(nd2y1)(y1)!(ny1)!(nd1)f(x)=\sum_{y=1}^{x-1}\sum_{d=0}^{n-2}\binom{n-d-2}{y-1}(y-1)!(n-y-1)!(n-d-1)
最後那一項是列舉x的位置。
f(x)=y=1x1d=0n2(nd2)!(nd1)(ny1)!(ndy1)!=y=1x1d=0n2(nd1)!(ndy1)!y!(ny1)!y!(n1)!(n1)!==
y=1x1(n1)!(n1y)d=0n2(nd1y)f(x)=\sum_{y=1}^{x-1}\sum_{d=0}^{n-2}\frac{(n-d-2)!(n-d-1)(n-y-1)!}{(n-d-y-1)!}\\ =\sum_{y=1}^{x-1}\sum_{d=0}^{n-2}\frac{(n-d-1)!}{(n-d-y-1)!y!}\frac{(n-y-1)!y!}{(n-1)!}(n-1)!\\ ==\sum_{y=1}^{x-1}\frac{(n-1)!}{\binom{n-1}{y}}\sum_{d=0}^{n-2}\binom{n-d-1}{y}

後半部分:
d=0n2(nd1y)=d=1n1(dy)=x=yn1(xy)=(ny+1)\sum_{d=0}^{n-2}\binom{n-d-1}{y}=\sum_{d=1}^{n-1}\binom{d}{y}=\sum_{x=y}^{n-1} \binom{x}{y}=\binom{n}{y+1}
因此:
f(x)=y=1x1(n1)!(n1y)(ny+1)=f(x1)+(n1)!(n1x1)(nx)f(x)=\sum_{y=1}^{x-1}\frac{(n-1)!}{\binom{n-1}{y}}\binom{n}{y+1}=f(x-1)+\frac{(n-1)!}{\binom{n-1}{x-1}}\binom{n}{x}
最後答案就是:
x=1nA(x)[2f(x)n!+1]\sum_{x=1}^n\mathrm{A}(x)\left[\frac{2f(x)}{n!}+1\right]
就做完了。
upd:其實後面還可以繼續稍微化簡一下:
f(x)=f(x1)+n!xf(x)=f(x-1)+\frac{n!}{x}不過沒啥本質區別就是了……

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v.size()-1)
#define lint long long
#define mod 998244353
#define db long double
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
#define gc getchar()
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef set<int>::iterator sit;
inline int inn()
{
	int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');
	x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9')
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
}
const int N=100010;
int fac[N],facinv[N];
inline int C(int n,int m) { if(n<0||m<0||n<m) return 0;return (lint)fac[n]*facinv[n-m]%mod*facinv[m]%mod; }
inline int fast_pow(int x,int k,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%mod) (k&1)?ans=(lint)ans*x%mod:0;return ans; }
inline int prelude(int n)
{
	rep(i,fac[0]=1,n) fac[i]=(lint)fac[i-1]*i%mod;
	facinv[n]=fast_pow(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--) facinv[i]=(i+1ll)*facinv[i+1]%mod;
	return 0;
}
int a[N],f[N];
int main()
{
	int n=inn(),ans=0;prelude(n);rep(i,1,n) a[i]=inn()%mod;f[1]=0;
	rep(x,2,n) f[x]=(f[x-1]+(lint)fac[n-1]*fast_pow(C(n-1,x-1),mod-2)%mod*C(n,x)%mod)%mod;
	rep(x,1,n) ans=(ans+a[x]*(2ll*f[x]%mod*facinv[n]%mod+1)%mod)%mod;
	return !printf("%d\n",ans);
}