題目大意：
給定一個序列 $\mathrm A$。
問一棵Treap（點的編號是有堆性質的二叉樹） ${\sum }_{x=1}^{}$

n d e p t h ( x ) ∗ A ( x ) \sum_{x=1}^n\mathrm{depth}(x)*\mathrm{A}(x) 的期望值是多少。
題解：
有個結論是，一個點的深度是這樣的：
將其編號的中序遍歷寫下來，從這個點對應中序遍歷的位置向左走，一開始計數器是0，每次遇到一個更小的數字就計數器++，向右同理，最後再加個1.
那麼考慮期望的線性性，算x對答案的貢獻，等價於計算x>y對答案有貢獻的排列有多少，然後+1。
不妨欽定x在y的左邊（最後還要乘以2），列舉中間隔著幾個位置d，那麼比y小的數字都要放在兩側，剩餘的隨意選：
$f$

( x ) = ∑ y = 1 x − 1 ∑ d = 0 n − 2 ( n − d − 2 y − 1 ) ( y − 1 ) ! ( n − y − 1 ) ! ( n − d − 1 ) f(x)=\sum_{y=1}^{x-1}\sum_{d=0}^{n-2}\binom{n-d-2}{y-1}(y-1)!(n-y-1)!(n-d-1)
最後那一項是列舉x的位置。
$f(x)=\sum_{y=1}^{x-1}\sum_{d=0}^{n-2}\frac{(n-d-2)!(n-d-1)(n-y-1)!}{(n-d-y-1)!}\\ =\sum_{y=1}^{x-1}\sum_{d=0}^{n-2}\frac{(n-d-1)!}{(n-d-y-1)!y!}\frac{(n-y-1)!y!}{(n-1)!}(n-1)!\\ ==\sum_{y=1}^{x-1}\frac{(n-1)!}{\binom{n-1}{y}}\sum_{d=0}^{n-2}\binom{n-d-1}{y}$
後半部分：
$\sum_{d=0}^{n-2}\binom{n-d-1}{y}=\sum_{d=1}^{n-1}\binom{d}{y}=\sum_{x=y}^{n-1} \binom{x}{y}=\binom{n}{y+1}$
因此：
$f(x)=\sum_{y=1}^{x-1}\frac{(n-1)!}{\binom{n-1}{y}}\binom{n}{y+1}=f(x-1)+\frac{(n-1)!}{\binom{n-1}{x-1}}\binom{n}{x}$