圖論最大流（Edmond Karp演算法）
Edmond Karp演算法的大概思想：
反覆尋找源點s到匯點t之間的增廣路徑，若有，找出增廣路徑上每一段[容量-流量]的最小值delta，若無，則結束。
在尋找增廣路徑時，可以用BFS來找，並且更新殘留網路的值(涉及到反向邊)。
而找到delta後，則使最大流值加上delta，更新為當前的最大流值。
(粗體表明需要掌握的概念)
關於反向邊：
以下摘至HDOJ的課件和網上的：
首先來看一下基本的網路流最大流模型。
有n個點，有m條有向邊，有一個點很特殊，只出不進，叫做源點，通常規定為1號點。另一個點也很特殊，只進不出，叫做匯點，通常規定為n號點。每條有向邊上有兩個量，容量和流量，從i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量則通常是f[I,j]。通常可以把這些邊想象成道路，流量就是這條道路的車流量，容量就是道路可承受的最大的車流量。很顯然的，流量<=容量。而對於每個不是源點和匯點的點來說，可以類比的想象成沒有儲存功能的貨物的中轉站，所有”進入”他們的流量和等於所有從他本身”出去”的流量。
把源點比作工廠的話，問題就是求從工廠最大可以發出多少貨物，是不至於超過道路的容量限制，也就是，最大流。
比如這個圖。每條邊旁邊的數字表示它的容量。
下面我們來考慮如何求最大流。
首先，假如所有邊上的流量都沒有超過容量(不大於容量)，那麼就把這一組流量，或者說，這個流，稱為一個可行流。一個最簡單的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。
我們就從這個零流開始考慮，假如有這麼一條路，這條路從源點開始一直一段一段的連到了匯點，並且，這條路上的每一段都滿足流量<容量，注意，是嚴格的<,而不是<=。那麼，我們一定能找到這條路上的每一段的(容量-流量)的值當中的最小值 delta。我們把這條路上每一段的流量都加上這個delta，一定可以保證這個流依然是可行流，這是顯然的。
這樣我們就得到了一個更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而這條路就叫做增廣路。
我們不斷地從起點開始尋找增廣路，每次都對其進行增廣，直到源點和匯點不連通，也就是找不到增廣路為止。當找不到增廣路的時候，當前的流量就是最大流，這個結論非常重要。
尋找增廣路的時候我們可以簡單的從源點開始做bfs，並不斷修改這條路上的delta量，直到找到源點或者找不到增廣路。
這裡要先補充一點，在程式實現的時候，我們通常只是用一個c陣列來記錄容量，而不記錄流量，當流量+1的時候，我們可以通過容量-1來實現，以方便程式的實現。
先來看看BFS部分的程式碼（C/C++實現）：
-
// 用BFS來判斷從結點s到t的路徑上是否還有delta
- // 即判斷s,t之間是否還有增廣路徑，若有，返回1
- bool BFS(int s, int t)
- {
- queue<int> que;
- memset(pre, -1, sizeof(pre));
- memset(vis, false, sizeof(vis));
- pre[s] = s;
- vis[s] = true;
- que.push(s);
- int p;
- while(!que.empty())
- {
- p = que.front();
- que.pop();
- for(int i=1; i<=M; ++i)
- {
- if(r[p][i]>0 && !vis[i])
- {
- pre[i] = p;
- vis[i] = true;
- if(i == t) // 存在增廣路徑
- returntrue;
- que.push(i);
- }
- }
- }
- returnfalse;
- }
但事實上並沒有這麼簡單，上面所說的增廣路還不完整，比如說下面這個網路流模型。
我們第一次找到了1-2-3-4這條增廣路，這條路上的delta值顯然是1。於是我們修改後得到了下面這個流。（圖中的數字是容量）
這時候(1,2)和(3,4)邊上的流量都等於容量了，我們再也找不到其他的增廣路了，當前的流量是1。
但這個答案明顯不是最大流，因為我們可以同時走1-2-4和1-3-4，這樣可以得到流量為2的流。
那麼我們剛剛的演算法問題在哪裡呢？問題就在於我們沒有給程式一個”後悔”的機會，應該有一個不走(2-3-4)而改走(2-4)的機制。那麼如何解決這個問題呢？回溯搜尋嗎？那麼我們的效率就上升到指數級了。
而這個演算法神奇的利用了一個叫做反向邊的概念來解決這個問題。即每條邊(I,j)都有一條反向邊(j,i)，反向邊也同樣有它的容量。
我們直接來看它是如何解決的：
在第一次找到增廣路之後，在把路上每一段的容量減少delta的同時，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同時，inc(c[y,x],delta)
我們來看剛才的例子，在找到1-2-3-4這條增廣路之後，把容量修改成如下
這時再找增廣路的時候，就會找到1-3-2-4這條可增廣量，即delta值為1的可增廣路。將這條路增廣之後，得到了最大流2。
那麼，這麼做為什麼會是對的呢？我來通俗的解釋一下吧。
事實上，當我們第二次的增廣路走3-2這條反向邊的時候，就相當於把2-3這條正向邊已經是用了的流量給”退”了回去，不走2-3這條路，而改走從2點出發的其他的路也就是2-4。（有人問如果這裡沒有2-4怎麼辦，這時假如沒有2-4這條路的話，最終這條增廣路也不會存在，因為他根本不能走到匯點）同時本來在3-4上的流量由1-3-4這條路來”接管”。而最終2-3這條路正向流量1，反向流量1，等於沒有流量。
這就是這個演算法的精華部分，利用反向邊，使程式有了一個後悔和改正的機會。而這個演算法和我剛才給出的程式碼相比只多了一句話而已。
至此，最大流Edmond-Karp演算法介紹完畢。
Edmond Karp演算法具體實現(C/C++):
- /**
- * Edmond Karp
- * Max Flow
- * by Tanky Woo @ www.wutianqi.com
- */
- #include <iostream>
- #include <queue>
- #include <algorithm>
- usingnamespace std;
- constint msize = 205;
- int N, M; // N--路徑數, M--結點數
- int r[msize][msize]; //
- int pre[msize]; // 記錄結點i的前向結點為pre[i]
- bool vis[msize]; // 記錄結點i是否已訪問
- // 用BFS來判斷從結點s到t的路徑上是否還有delta
- // 即判斷s,t之間是否還有增廣路徑，若有，返回1
- bool BFS(int s, int t)
- {
- queue<int> que;
- memset(pre, -1, sizeof(pre));
- memset(vis, false, sizeof(vis));
- pre[s] = s;
- vis[s] = true;
- que.push(s);
- int p;
- while(!que.empty())
- {
- p = que.front();
- que.pop();
- for(int i=1; i<=M; ++i)
- {
- if(r[p][i]>0 && !vis[i])
- {
- pre[i] = p;
- vis[i] = true;
- if(i == t) // 存在增廣路徑
- returntrue;
- que.push(i);
- }
- }
- }
- returnfalse;
- }
- int EK(int s, int t)
- {
- int maxflow = 0, d;
- while(BFS(s, t))
- {
- d= INT_MAX;
- // 若有增廣路徑，則找出最小的delta
- for(int i=t; i!=s; i=pre[i])
- d = min(d, r[pre[i]][i]);
- // 這裡是反向邊，看講解
- for(int i=t; i!=s; i=pre[i])
- {
- r[pre[i]][i] -= d;
- r[i][pre[i]] += d;
- }
- maxflow += d;
- }
- return maxflow;
- }
- int main()
- {
- while(cin >> N >> M)
- {
- memset(r, 0, sizeof(r));
- int s, e, c;
- for(int i=0; i<N; ++i)
- {
- cin >> s >> e >> c;
- r[s][e] += c; // 有重邊時則加上c
- }
- cout << EK(1, M) << endl;
- }
- return 0;
- }