problem

求一個給定的圓(x2+y2=r2$x^2+y^2=r^2$)，在圓周上有多少個點的座標是整數。

Input

只有一個正整數r,r<=2000 000 000

Output

整點個數

Sample Input

4

Sample Output

4

Hint

科普視訊

思路

顯然，對於所給半徑r,對應四個座標軸上的點一定在圓x2+y2=r2$x^2+y^2=r^2$上；而對於四個象限內的座標，問題轉化為求解二次方程x2+y2=r2$x^2+y^2=r^2$的整數解，其中x>0,y>0$x>0,y>0$ 。記所得解組數為n，由對稱性則ans=(n+1)*4

x2

易想到的做法是對x進行[1,r22−−√]$[1,\sqrt{\frac{r^2}{2}}]$的列舉，判斷是否存在y,y∈N+$N^{+}$ 滿足方程。

但注意到r的範圍，這種方法會超時。

下面這種方法，利用了互質數的特殊性質，可以將等式簡化，從而降低複雜度

設x∗x+y∗y=r2則y2=r2−x2=(r+x)(r−x)設d=gcd(r+x,r−x),則gcd(r+xd,r−xd)=1$設x\ast x+y\ast y=r^2則y^2=r^2-x^2=(r+x)(r-x)設d=gcd(r+x,r-x),則gcd(\frac{r+x}{d},\frac{r-x}{d})=1$

記A=r+xd,B=r−xd$記A=$

已知兩個數A,B是互質的，且A∗B=C2,C為整數$A\ast B=C^2,C為整數$，則A,B本身都是完全平方數

證明：由於A,B是互質的，則分解質因數後，他們不含有公共的因數p$p$ 。A,B相乘，由於沒有相同的底數，則相當於把兩個質因數直接“拼接”在一起。而現在這個數是完全平方數，即每個指數都是偶數，因此原先A,B質因子分解的每個指數也是偶數。得證。

接著這題，設A=a2,B=b2$A=a^2,B=b^2$，因此a2+b2=2rd$a^2+b^2=\frac{2r}{d}$。因此只有當d|2r時，這個等式才有解，也就等價於x∗x+y∗y=r2$x\ast x+y\ast y=r^2$有解。所以我們列舉{d|d|2r}$\{d|d|2r\}$，得到2r的兩個因子（一大一小，成對出現），記為x,y。再去解方程a2+b2=xa2+b2=y$a^2+b^2=x{a}^2+b^2=y$即可（解這兩個方程用普通根號折中列舉方法）。