求N!末尾的0的個數（找規律+遞迴）
阿新 • • 發佈：2019-01-24
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題目描述
計算整數n！(n的階乘)末尾有多少個0。輸入
第一行輸入一個數T代表測試資料個數（T<=20）。接下來T行每行1個數代表n(0<=n< 2^31)。輸出
對於每個測試資料輸n!末尾有多少個0，每行輸出一個結果。示例輸入
3 1 5 10
示例輸出
0 1 2
提示
中國海洋大學第三屆“朗訊杯”程式設計比賽高階組試題 宣告（摘抄至某前輩）--------------------- 這裡先給出其計算公式，後面給出推導過程。令f(x)表示正整數x末尾所含有的“0”的個數，則有：
當0 < n < 5時，f(n!) = 0;
當n >= 5時，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。
問題分析
顯然，對於階乘這個大數，我們不可能將其結果計算出來，再統計其末尾所含有的“0”的個數。所以必須從其數字特徵進行分析。下面我們從因式分解的角度切入分析。
我們先考慮一般的情形。對於任意一個正整數，若對其進行因式分解，那麼其末尾的“0”必可以分解為2*5。在這裡，每一個“0”必然和一個因子“5”相對應。但請注意，一個數的因式分解中因子“5”不一定對應著一個“0”，因為還需要一個因子“2”，才能實現其一一對應。
我們再回到原先的問題。這裡先給出一個結論：
結論1： 對於n的階乘n！，其因式分解中，如果存在一個因子“5”，那麼它必然對應著n！末尾的一個“0”。
下面對這個結論進行證明：
(1)當n < 5時, 結論顯然成立。
(2)當n >= 5時，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一個不含因子“5”的整數。
對於序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一個數5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，並且在區間(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)記憶體在偶數，也就是說，a中存在一個因子“2”與5i相對應。即，這裡的k個因子“5”與n！末尾的k個“0”一一對應。
我們進一步把n！表示為：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出結論1。
上面證明了n的階乘n！末尾的“0”與n！的因式分解中的因子“5”是一一對應的。也就是說，計算n的階乘n！末尾的“0”的個數，可以轉換為計算其因式分解中“5”的個數。
令f(x)表示正整數x末尾所含有的“0”的個數, g(x)表示正整數x的因式分解中因子“5”的個數，則利用上面的的結論1和公式1有：
f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以，最終的計算公式為：
當0 < n < 5時，f(n!) = 0;
當n >= 5時，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。
計算舉例
f(5!) = 1 + f(1!) = 1
f(10!) = 2 + f(2!) = 2
f(20!) = 4 + f(4!) = 4
f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;
int cal(int n)
{
if(n<5) return 0;
else
{
n/=5;
return n+cal(n);
}
}
int main()
{
int n,T;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>n;
cout<<cal(n)<<endl;
}
return 0;
}