總算刷完kuangbin期望&概率專題了，下面總結一下心得和題解！

1.期望dp

期望dp通常逆推，即從結果推向初始狀態，也可以用記憶化搜尋進行dp；

E=Σp1*(E1+X1)+Σp2*(E+X2)

其中E為當前狀態的期望，E1為下一個狀態的期望，p1和X1分別為將當前狀態轉移到下一個狀態的概率和花費，p2和X2分別為保持當前狀態的概率和花費。

最後化簡為E=(Σp1*(E1+X1)+Σp2*X2)/(1-Σp2)

2.概率dp

概率dp通常順推，即從初始狀態推向結果，E=Σp1*E1

其中E為當前狀態的概率，E1為上一個狀態的概率，p1是由上一個狀態轉移到當前狀態的概率

3.高斯消元

當概率dp不能用遞推式進行狀態轉移時，就需要用到高斯消元

如果有n個狀態，則需要建立n*(n+1)行的矩陣，用A[i][j]表示

A[i][j]表示由狀態i轉移到狀態j的概率，通常將最後一列設為0，再讓A[i][i]+=-1

const double eps = 1e-6;
typedef vector<double> vec;
typedef vector<vec> mat;
vec gauss_jordan(const mat& A, const vec& b) {
    int n = A.size();
    mat B(n, vec(n + 1));
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) B[i][j] = A[i][j];
    for (int i = 0; i < n; i++) B[i][n] = b[i];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int pivot = i;
        for (int j = i; j < n; j++) {
            if (fabs(B[j][i]) > fabs(B[pivot][i])) pivot = j;
        }
        swap(B[i], B[pivot]);
        if (fabs(B[i][i]) < eps) return vec();
        for (int j = i + 1; j <= n; j++) B[i][j] /= B[i][i];
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i != j) {
                for (int k = i + 1; k <= n; k++) B[j][k] -= B[j][i] * B[i][k];
            }
        }
    }
    vec x(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) x[i] = B[i][n];
    return x;
}