1.  勾股定理（畢達哥拉斯定理）

2.  射影定理（歐幾里得定理）

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜邊ab上的高，則有射影定理如下：①CD²=AD·DB②BC²=BD·BA③AC²=AD·AB④AC·BC=AB·CD（等積式，可用面積來證明）

3.  三角形的三條中線交於一點，並且，各中線被這個點分成2：1的兩部分

4.  四邊形兩邊中心的連線和兩條對角線中心的連線交於一點

5.  間隔的連線六邊形的邊的中心所做出的兩個三角形的重心是重合的（可忽略）

6.  三角形各邊的垂直平分線交於一點

另：三角形五心

重心定義：三角形的三條中線交於一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍。該點叫做三角形的重心。

外心定義：三角形的三邊的垂直平分線交於一點。該點叫做三角形的外心。

垂心定義：三角形的三條高交於一點。該點叫做三角形的垂心。

內心定義：三角形的三內角平分線交於一點。該點叫做三角形的內心。

旁心定義：三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點。該點叫做三角形的旁心。三角形有三個旁心。

三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。

  三角形的重心

三角形的三條中線交於一點

三角形三條中線的交點叫做三角形的重心

定理：三角形重心與頂點的距離等於它與對邊中點的距離的兩倍

  三角形的內心

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外接三角形

三角形的三條內角平分線有一個且只有一個交點，這個交點到三角形三邊的距離相等，就是三角形的內心

三角形有且只有一個內切圓

內切圓的半徑公式：

s為三角形周長的一半

  三角形的外心

經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形

三角形三邊的垂直平分線有一個且只有一個交點，這個交點到三角形三個頂點的距離相等，就是三角形的外心

三角形有且只有一個外接圓

設三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設垂足為L，則AH=2OL

  三角形的垂心

三角形的三條高線交於一點

三角形三條高線的交點叫做三角形的垂心

銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角的頂點；鈍角三角形的垂心在三角形外

  三角形的旁心

與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形的旁心

三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交於一點，這個交點到三角形一邊及其他兩邊延長線的距離相等，就是三角形的旁心

三角形有三個旁切圓，三個旁心

7.  （九點圓或尤拉圓或費爾巴赫圓）三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上

8.  尤拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位於同一直線（尤拉線）上

9.  庫立奇大上定理：（圓內接四邊形的九點圓） 圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓。

10. 中線定理：（巴布斯定理）設三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)

11. 斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC分成m和n兩段，則有n×AB^2+m×AC^2=BC×（AP^2+mn）

12. 波羅摩及多定理：圓內接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連線AB中點M和對角線交點E的直線垂直於CD

13. 阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n（值不為1）的點P，位於將線段AB分成m:n的內分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上

14.托勒密定理：設四邊形ABCD內接於圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD

15.以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形

16. 愛爾可斯定理

  定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構成的三角形也是正三角形

  定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構成的三角形是正三角形

17.梅涅勞斯定理

設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經過它們任一頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有 BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1

  逆定理：（略）

  應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分線交邊CA於Q、∠C的平分線交邊AB於R，、∠B的平分線交邊CA於Q，則P、Q、R三點共線

  應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交於點P、Q、R，則P、Q、R三點共線

18.塞瓦定理

設△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交於點P、Q、R，則BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1

  逆定理：（略）

  應用定理1：三角形的三條中線交於一點

  應用定理2：設△ABC的內切圓和邊BC、CA、AB分別相切於點R、S、T，則AR、BS、CT交於一點

19.西摩鬆定理

從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線（這條直線叫西摩鬆線）

  逆定理：（略）

20.史坦納定理

設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關於△ABC的點P的西摩鬆線通過線段PH的中心

  應用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關於邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條（與西摩鬆線平行的）直線上。這條直線被叫做點P關於△ABC的鏡象線

21.波朗傑、騰下定理

設△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關於△ABC交於一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=360°的倍數

  推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關於△ABC的西摩鬆線交於一點，則A、B、C三點關於△PQR的的西摩鬆線交於與前相同的一點

  推論2：在推論1中，三條西摩鬆線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其餘三點所作的三角形的垂心的連線段的中點

  推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關於△ABC的西摩鬆線，如設QR為垂直於這條西摩鬆線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關於△ABC的西摩鬆線交於一點

  推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關於關於△ABC的西摩鬆線交於一點

  關於西摩鬆線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關於該三角形的西摩鬆線互相垂直，其交點在九點圓上

  關於西摩鬆線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其餘一點的關於該三角形的西摩鬆線，這些西摩鬆線交於一點

22.卡諾定理

通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

23.奧倍爾定理

通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

24.清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異於A、B、C的兩點，P點的關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

25.他拿定理：設P、Q為關於△ABC的外接圓的一對反點，點P的關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC²=OQ×OP 則稱P、Q兩點關於圓O互為反點）

26.朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關於這4個三角形的西摩鬆線，再從P向這4條西摩鬆線引垂線，則四個垂足在同一條直線上

27.從三角形各邊的中點，向這條邊所的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交於該三角形的九點圓的圓心

28.一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其餘一點處的切線所引的垂線都交於一點

29.康托爾定理

  定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向餘下兩點的連線所引的垂線共點

  定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關於四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩鬆的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關於四邊形ABCD的康托爾線

  定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關於四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關於四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關於四邊形ABCD的康托爾線交於一點。這個點叫做M、N、L三點關於四邊形ABCD的康托爾點

  定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關於四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關於五邊形A、B、C、D、E的康托爾線

30.費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切

31.莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形

32.牛頓定理

  定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線

  定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線

33.笛沙格定理

  定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交於一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線

  定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交於一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線

34.布利安鬆定理：連結外切於圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點

35.巴斯加定理：圓內接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長線的）交點共線

36.蝴蝶定理：P是圓O的弦AB的中點，過P點引圓O的兩弦CD、EF，連結DE交AB於M，連結CF交AB於N，則有MP=NP

37.帕普斯定理：設六邊形ABCDEF的頂點交替分佈在兩條直線a和b上，那麼它的三雙對邊所在直線的交點X、Y、Z在一直線上

38.高斯線定理：四邊形ABCD中，直線AB與直線CD交於E，直線BC與直線AD交於F，M、N、Q分別為AC、BD、EF的中點，則有M、N、O共線

39.莫勒定理

三角形三個角的三等分線共有6條，每相鄰的（不在同一個角的）兩條三等分線的交點，是一個等邊三角形的頂點

  逆定理：在三角形ABC三邊所在直線BC、CA、AB上各取一點D、E、F，若有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1，則AD、BE、CE平行或共點

40. 斯特瓦爾特定理：在三角形ABC中，若D是BC上一點，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，則AD^2=[(b*b*p+c*c*q)/(p+q)]-pq

41.泰博定理：取平行四邊形的邊為正方形的邊，作四個正方形（同時在平行四邊形內或外皆可）。正方形的中心點所組成的四邊形為正方形；取正方形的兩條鄰邊為三角形的邊，作兩個等邊三角形（同時在正方形內或外皆可）。這兩個三角形不在正方形邊上的頂點，和正方形四個頂點中唯一一個不是三角形頂點的頂點，組成一等邊三角形；給定任意三角形ABC，BC上任意一點M，作兩個圓形，均與AM、BC、外接圓相切，該兩圓的圓心和三角形內接圓心共線

42.凡·奧貝爾定理：給定一個四邊形，在其邊外側構造一個正方形。將相對的正方形的中心連起，得出兩條線段。線段的長度相等且垂直（凡·奧貝爾定理適用於凹四邊形）

43.西姆鬆定理：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上