2. 程式人生 > >馬爾科夫鏈與轉移矩陣

馬爾科夫鏈與轉移矩陣

阿新 • • 發佈：2019-01-25

什麼是轉移概率矩陣(Transition Probability Matrix)

　　轉移概率矩陣：矩陣各元素都是非負的，並且各行元素之和等於1，各元素用概率表示，在一定條件下是互相轉移的，故稱為轉移概率矩陣。如用於市場決策時，矩陣中的元素是市場或顧客的保留、獲得或失去的概率。P(k)表示k步轉移概率矩陣。

轉移概率矩陣的特徵

　　轉移概率矩陣有以下特徵：

　　①,0≤Pij≤1

　　②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1，即矩陣中每一行轉移概率之和等於1。

轉移概率矩陣的分析

　　所謂矩陣，是指許多個數組成的一個數表。每個數稱為矩陣的元素。矩陣的表示方法是用括號將矩陣中的元素括起來，以表示它是一個整體。如Ａ就是一個矩陣。

　　A=\begin{bmatrix} a_{11},a_{12}\cdots & a_{1n} \\ \bullet \bullet & \bullet \\ \bullet \bullet & \bullet\\ \bullet \bullet & \bullet\\ a_{21},a_{22}\cdots & a_{2n}\\ a_{m1},a_{m2}\cdots & a_{mn}\end{bmatrix}

　　這是一個由m行n列的數構成的矩陣， 表示位於矩陣中第i行與第j列交叉點上的元素， 矩陣中的行數與列數可以相等，也可以不等。當它們相等時，矩陣就是一個方陣。

　　由轉移概率組成的矩陣就是轉移概率矩陣。也就是說構成轉移概率矩陣的元素是一個個的轉移概率。

　　R=\begin{bmatrix} P_{11},P_{12}\cdots & P_{1n} \\ \bullet \bullet & \bullet \\ \bullet \bullet & \bullet\\ \bullet \bullet & \bullet\\ P_{21},P_{22}\cdots & P_{2n}\\ P_{m1},P_{m2}\cdots & P_{mn}\end{bmatrix}

轉移概率與轉移概率矩陣[1]

　　假定某大學有1萬學生，每人每月用1支牙膏，並且只使用“中華”牙膏與“黑妹”牙膏兩者之一。根據本月（12月）調查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中華牙膏。又據調查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月將繼續使用黑妹牙膏，40％的人將改用中華牙膏； 使用中華牙膏的7000人中， 有70％的人下月將繼續使用中華牙膏，30％的人將改用黑妹牙膏。據此，可以得到如表－1所示的統計表。

　　　　　　　　　表－1 兩種牙膏之間的轉移概率

　　擬用 黑妹牙膏 中華牙膏
現用　　
黑妹牙膏 60％ 40％
中華牙膏 30％ 70％

　　上表中的4個概率就稱為狀態的轉移概率，而這四個轉移概率組成的矩陣

　　B=\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

　　稱為轉移概率矩陣。可以看出， 轉移概率矩陣的一個特點是其各行元素之和為１。 在本例中，其經濟意義是：現在使用某種牙膏的人中，將來使用各種品牌牙膏的人數百分比之和為1。

　　2． 用轉移概率矩陣預測市場佔有率的變化

　　有了轉移概率矩陣，就可以預測，到下個月（１月份）使用黑妹牙膏和中華牙膏的人數，計算過程如下：

　　(3000.7000) \begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix} =(3900,6100)

　　即：1月份使用黑妹牙膏的人數將為3900，而使用中華牙膏的人數將為6100。

　　假定轉移概率矩陣不變，還可以繼續預測到2月份的情況為：

　　(3900,6100)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

　　=(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

　　=(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2=(4170,5830)

　　這裡\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2稱為二步轉移矩陣，也即由12月份的情況通過2步轉移到2月份的情況。二步轉移概率矩陣正好是一步轉移概率矩陣的平方。一般地， k步轉移概率矩陣

　　正好是一步轉移概率矩陣的k次方。可以證明，k步轉移概率矩陣中,各行元素之和也都為1。

轉移概率矩陣案例分析

案例一: 用轉移概率矩陣預測市場佔有率的變化[1]

　　有了轉移概率矩陣，就可以預測，到下個月（１月份）使用黑妹牙膏和中華牙膏的人數，計算過程如下：

　　(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}=(3900,6100)

　　即：1月份使用黑妹牙膏的人數將為3900，而使用中華牙膏的人數將為6100。假定轉移概率矩陣不變，還可以繼續預測到2月份的情況為：

　　(3900,6100)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

　　=(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

　　=(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2

　　=(4170,5830)

　　這裡\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2

　　稱為二步轉移矩陣，也即由１２月份的情況通過２步轉移到2月份的情況。二步轉移概率矩陣正好是一步轉移概率矩陣的平方。一般地， k步轉移概率矩陣正好是一步轉移概率矩陣的k次方。可以證明，k步轉移概率矩陣中,各行元素之和也都為1。

參考文獻

相關條目

轉移概率(transition probability)

什麼是轉移概率

　　轉移概率是馬爾可夫鏈中的重要概念，若馬氏鏈分為m個狀態組成，歷史資料轉化為由這m個狀態所組成的序列。從任意一個狀態出發，經過任意一次轉移，必然出現狀態1、2、……，m中的一個，這種狀態之間的轉移稱為轉移概率。

　　當樣本中狀態m可能發生轉移的總次數為i，而由狀態m到未來任一時刻轉為狀態ai的次數時，則在m+n時刻轉移到未來任一時刻狀態aj的轉移概率為：

P_{ij}(m,m+n)=P\left\{X_m+n = a_j|X_m=a_i \right\}

　　這些轉移移概率可以排成一個的轉移概率矩陣：P(m,m+n)(Pij(m,m + n))

　　當m=1時為一階轉概率矩陣，m\ge2時為高階概率轉移矩陣，有了概率轉移矩陣，就得到了狀態之間經一步和多步轉移的規律，這些規律就是貸款狀態間演變規律的表，當初始狀態已知時，可以查表做出不同時期的預測。

轉移概率與轉移概率矩陣[1]

　　假定某大學有1萬學生，每人每月用1支牙膏，並且只使用“中華”牙膏與“黑妹”牙膏兩者之一。 根據本月（12月）調查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中華牙膏。 又據調查,使用黑妹牙膏的3000人中， 有60％的人下月將繼續使用黑妹牙膏， 40％的人將改用中華牙膏； 使用中華牙膏的7000人中， 有70％的人下月將繼續使用中華牙膏， 30％的人將改用黑妹牙膏。據此，可以得到如表－1所示的統計表。

　　　　　　　　　表－1 兩種牙膏之間的轉移概率

　　擬用 黑妹牙膏 中華牙膏
現用　　
黑妹牙膏 60％ 40％
中華牙膏 30％ 70％

　　上表中的4個概率就稱為狀態的轉移概率，而這四個轉移概率組成的矩陣

　　B=\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

　　稱為轉移概率矩陣。可以看出， 轉移概率矩陣的一個特點是其各行元素之和為１。 在本例中，其經濟意義是：現在使用某種牙膏的人中，將來使用各種品牌牙膏的人數百分比之和為1。

　　2． 用轉移概率矩陣預測市場佔有率的變化

　　有了轉移概率矩陣，就可以預測，到下個月（１月份）使用黑妹牙膏和中華牙膏的人數，計算過程如下：

　　(3000,7000) \begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix} =(3900,6100)

　　即：1月份使用黑妹牙膏的人數將為3900，而使用中華牙膏的人數將為6100。

　　假定轉移概率矩陣不變，還可以繼續預測到2月份的情況為：

　　(3900,6100)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

　　=(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

　　=(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2=(4170,5830)

　　這裡\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2稱為二步轉移矩陣，也即由12月份的情況通過2步轉移到2月份的情況。二步轉移概率矩陣正好是一步轉移概率矩陣的平方。一般地， k步轉移概率矩陣

　　正好是一步轉移概率矩陣的k次方。可以證明，k步轉移概率矩陣中,各行元素之和也都為1。

馬爾可夫過程（Markov Process）

什麼是馬爾可夫過程

　　1、馬爾可夫性(無後效性)

　　過程或（系統）在時刻t0所處的狀態為已知的條件下，過程在時刻t > t0所處狀態的條件分佈，與過程在時刻t0之前年處的狀態無關的特性稱為馬爾可夫性或無後效性。

　　即：過程“將來”的情況與“過去”的情況是無關的。

　　2、馬爾可夫過程的定義

　　具有馬爾可夫性的隨機過程稱為馬爾可夫過程。

　　用分佈函式表述馬爾可夫過程：

　　設I：隨機過程{X(t),t\in T}的狀態空間，如果對時間t的任意n個數值:

　　P{X(t_n)\le x_n|X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,\cdots ,X(t_{n-1})=x_{n-1}}（注：X(tn)在條件X(ti) = xi下的條件分佈函式）

　　=P{X(t_n\le x_n|X(t_{n-1})=x_{n-1}},x_n\in R(注：X(tn))在條件X(tn − 1) = xn − 1下的條件分佈函式）

　　或寫成：

　　F_{t_n|t_1\cdots t_{n-1}}(x_n,t_n|x_1,x_2,\cdots,x_{n-1};t_1,t_2,\cdots,t_{n-1})

　　F_{t_n|t_{n-1}}(x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1})

　　這時稱過程X(t),t\in T具馬爾可夫性或無後性，並稱此過程為馬爾可夫過程。

　　3、馬爾可夫鏈的定義

　　時間和狀態都是離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈, 簡記為{X_n=X(n),n=0,1,2,\cdots}。

馬爾可夫過程的概率分佈

　　研究時間和狀態都是離散的隨機序列:{X_n=X(n),n=0,1,2,\cdots},狀態空間為I={a_1,a_2,\cdots},a_i\in R

　　1、用分佈律描述馬爾可夫性

　　對任意的正整數n,r和0\le t_1<t_2<\cdots <t_r<m;t_i,m,n+m\in T_i，有：

　　P{X_{m+n}=a_j|X_{t_1}=a_{i_1},X_{t_2}=a_{i_2},\cdots,X_{t_r}=a_{i_r},X_m=a_i}

　　PXm + n = aj | Xm = ai，其中a_i\in I。

　　2、轉移概率

　　稱條件概率Pij(m,m + n) = PXm + n = aj | Xm = ai為馬氏鏈在時刻m處於狀態ai條件下，在時刻m+n轉移到狀態aj的轉移概率。

　　說明：轉移概率具胡特點：

　　\sum_{j=1}^\infty P_{ij}(m,m+n)=1,i=1,2,\cdots。

　　由轉移概率組成的矩陣馬爾可夫過程稱為馬氏鏈的轉移概率矩陣。它是隨機矩陣。

　　3、平穩性

　　當轉移概率Pij(m,m + n)只與i,j及時間間距n有關時，稱轉移概率具有平穩性。同時也稱些鏈是齊次的或時齊的。

　　此時，記Pij(m,m + n) = Pij(n),Pij(n) = PXm + n = aj | Xm = ai(注：稱為馬氏鏈的n步轉移概率)

　　P(n) = (Pij(n))為n步轉移概率矩陣。

　　特別的, 當 k=1 時,

　　一步轉移概率：Pij = Pij(1) = PXm + 1 = aj | Xm = ai。

　　一步轉移概率矩陣：P(1)

馬爾可夫過程

馬爾可夫過程的應用舉例

　　設任意相繼的兩天中，雨天轉晴天的概率為1/3，晴天轉雨天的概率為1/2，任一天晴或雨是互為逆事件。以0表示晴天狀態，以1表示雨天狀態，Xn表示第n天狀態（0或1）。試定出馬氏鏈X_n,n\ge 1的一步轉移概率矩陣。又已知5月1日為晴天，問5月3日為晴天，5月5日為雨天的概率各等於多少？

　　解：由於任一天晴或雨是互為逆事件且雨天轉晴天的概率為1/3，晴天轉雨天的概率為1/2，故一步轉移概率和一步轉移概率矩陣分別為：

　　P{X_n=j|X_{n-1}=i}=\begin{cases}\frac{1}{3},i=1,j=0\\\frac{2}{3},i=1,j=1\\\frac{1}{2},i=0,j=0\\\frac{1}{2},i=0,j=1\end{cases}

馬爾可夫過程

　　故5月1日為晴天，5月3日為晴天的概率為：

　　P_{00}(2)=\frac{5}{12}=0.4167

　　又由於：馬爾可夫過程

　　故5月1日為晴天，5月5日為雨天的概率為：P01(4) = 0.5995 　

相關推薦

馬爾科夫鏈與轉移矩陣

什麼是轉移概率矩陣(Transition Probability Matrix) 　　轉移概率矩陣：矩陣各元素都是非負的，並且各行元素之和等於1，各元素用概率表示，在一定條件下是互相轉移的，故稱為轉移概率矩陣。如用於市場決策時，矩陣中的元素是市場或顧客的保留、獲得或失去的概

蒙特卡羅 馬爾科夫鏈 與Gibbs取樣

        這幾個概念看了挺多遍都還是含混不清，最近看了幾篇部落格，才算大致理解了一點點皮毛，所以來總結一下。MCMC概述        從名字我們可以看出，MCMC由兩個MC組成，即蒙特卡羅方法（Monte Carlo Simulation，簡稱MC）和馬爾科夫鏈（Ma

概率分布與馬爾科夫鏈的關系討論（上傳費事）

com info 技術分享 技術 17. 分享 概率 討論 關系 概率分布與馬爾科夫鏈的關系討論（上傳費事）

概率分布與馬爾科夫鏈的關系討論

而且 ID inf 選擇 之間 tran http 馬爾科夫 方法 概率分布與馬爾科夫鏈的關系討論2018年6月24日22:38Copyright ? 2018 Lucas Yu 小編原創，任何形式傳播（轉載或復制），請註明出處，謝謝！ 摘要： 本文主要討論使

馬爾科夫鏈-轉移概率

G=[1/16, 1/6,1/8;1/32,0,1/4;1/32,1/4,1/12];%轉移概率a=20;%H=zeros(a);%[r,s]=size(H);%TotalNum=r*s;%IndexNum=1+floor(rand(1,floor(TotalNum*0.1))*TotalNum);

精通Excel資料統計與分析 - 摘要 （第9章：馬爾科夫鏈分析）

一、馬爾科夫鏈分析 9.1 馬爾科夫鏈簡介 馬爾可夫性：系統在各個時期所處的狀態是隨機的，從這個時期到下個時期的狀態按照一定的概率進行轉移，且下個時期的狀態只取決於這個時期的狀態和轉移概率，與之前各個時期的狀態無關，這種性質稱之為無後效性或馬爾可夫性。 簡單的馬爾

隨機遊走與馬爾科夫鏈的一些基礎

轉載自：http://blog.csdn.net/assiduousknight/article/details/18150803 這幾天在看一些使用到了隨機遊走的相關文獻，整理一下常用的公式和性質 隨機遊走（random walk）矩陣可以看做是馬爾科夫鏈的一種

Chapter 4 馬爾科夫鏈

ado 收盤價 公司 整數 天氣預報 有關 href chapter 簡單的 4.1 引言現在要研究的是這樣一種過程： 表示在時刻的值（或者狀態），想對一串連續時刻的值，比如：，， ... 建立一個概率模型。 最簡單的模型就是：假設都是獨立的隨機變量，但是通常這

基於馬爾科夫鏈的股市大盤指數預測

基於 gpo 預測 body info http 股市 圖片 技術分享 基於馬爾科夫鏈的股市大盤指數預測

利用隱馬爾科夫鏈（HMM）模型實現中文分詞

stat back viterbi sub ont 漢字 display state 出現 1.什麽是HMM？ 隱馬爾科夫鏈（HMM）是一個五元組： 隱狀態集合 ; 觀測狀態集合； 狀態概率轉移矩陣； 觀察狀態概率矩陣； 初始狀態概率分布； 2.HMM有兩個假設： 齊

隱馬爾科夫模型與三個問題

自然語言處理 算法 隱馬爾科夫模型定義 隱馬爾可夫模型是關於時序的概率模型，描述由一個隱藏的馬爾可夫鏈隨機生成不可觀測的狀態隨機序列，再由各個狀態生成一個觀測而產生觀測隨機序列的過程。 隱藏的馬爾可夫鏈隨機生成的狀態的序列，稱為狀態序列（state sequence);每個狀態生成一個觀測，而由此產生

13張動圖助你徹底看懂馬爾科夫鏈、PCA和條件概率！

添加 bubuko 人類 鏈接 作者 搜索 作用 當前 變換 13張動圖助你徹底看懂馬爾科夫鏈、PCA和條件概率！ https://mp.weixin.qq.com/s/ll2EX_Vyl6HA4qX07NyJbA [ 導讀 ] 馬爾科夫鏈、主成分分析以及條件概率等

馬爾科夫鏈及其平穩狀態

cell 狀況 style 馬氏鏈 足夠 同時 font 能夠 類別 馬爾科夫鏈的定義如下 從定義中我們不難看出馬氏鏈當前狀態只與前一個狀態相關。比如我們預測明天天氣，只考慮今天天氣狀況，不考慮昨天前天的天氣狀況。 舉個具體的例子。社會學家把人按其經濟狀況分為3類：下層，

【HDOJ6229】Wandering Robots（馬爾科夫鏈，set）

聯通 tin queue 開放 答案 轉移 first gcd 格子 題意：給定一個n*n的地圖，上面有k個障礙點不能走，有一個機器人從(0,0)出發，每次等概率的不動或者往上下左右沒有障礙的地方走動，問走無限步後停在圖的右下部的概率 n<=1e4，k<=1e3

PyMC：馬爾科夫鏈蒙特卡洛采樣工具

load 預裝 ima lin windows mod 創建 pan bubuko PyMC是一個實現貝葉斯統計模型和馬爾科夫鏈蒙塔卡洛采樣工具擬合算法的Python庫。PyMC的靈活性及可擴展性使得它能夠適用於解決各種問題。除了包含核心采樣功能，PyMC還包含了統計輸出

一個馬爾科夫鏈例項----停車問題

看了 《Foundations of stochastic inventory theory》 中的另一個例子，下面把這個例子描述下。 一個駕駛員到達目的地之前選擇停車位，停車位的狀態： 0 或 1, 表示停車位是否為空，0 表示空著，1 表示不空。空的概率為 p

使用馬爾科夫鏈生成文本

時間 bsp pytho nbsp spa python mage 訓練 auth 馬爾科夫鏈是一種隨機模型，能根據先前的事件單獨預測一個時間。 用馬爾科夫鏈生成文本也是采用了相同的理念，努力找到一個詞出現在另一個詞後面的概率。 代碼包含兩部分，一個用來訓練，一個用

隱馬爾科夫鏈（hmm）基本原理和簡單例項

title: 隱馬爾科夫鏈（hmm） tags: hmm,隱馬爾科夫鏈,基本原理 grammar_cjkRuby: true 隱馬爾科夫鏈基本介紹 隱馬爾科夫（Hidden Markov Model，HMM），瞭解一個演算法要做到：會其意，知其形。 引子 隱馬爾科夫

基於HMM（隱馬爾科夫鏈）和DNN的歌聲合成系統成果樣本

基於HMM（隱馬爾科夫鏈）和DNN的歌聲合成系統成果樣本 閒話少說 樣本連線 閒話少說 最近工作的一點成績。 樣本連線 日文歌曲1. 日文歌曲2.； 日文歌曲3.； 日文歌曲4.；

深度學習 --- 受限玻爾茲曼機（馬爾科夫過程、馬爾科夫鏈）

        上一節我們詳細的探討了玻爾茲曼機，玻爾茲曼機的發明是為了解決Hopfield神經網路的偽吸引子的問題，因此把退火演算法、玻爾茲曼分佈和Hopfield神經網路結合在一起形成了玻爾茲曼機（隨機神經網路）。通過前面幾節我們知道玻爾茲曼機可以很好