堆樹(最大堆和最小堆)
一、堆樹的定義
堆樹的定義如下:
(1)堆樹是一顆完全二叉樹;
(2)堆樹中某個節點的值總是不大於或不小於其孩子節點的值;
(3)堆樹中每個節點的子樹都是堆樹。
當父節點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為最大堆。 當父節點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為最小堆。如下圖所示,左邊為最大堆,右邊為最小堆。
二、堆樹的操作
以最大堆為例進行講解,最小堆同理。
原始資料為a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7},採用順序儲存方式,對應的完全二叉樹如下圖所示:
(1)構造最大堆
在構造堆的基本思想就是:首先將每個葉子節點視為一個堆,再將每個葉子節點與其父節點一起構造成一個包含更多節點的對。
所以,在構造堆的時候,首先需要找到最後一個節點的父節點,從這個節點開始構造最大堆;直到該節點前面所有分支節點都處理完畢,這樣最大堆就構造完畢了。
假設樹的節點個數為n,以1為下標開始編號,直到n結束。對於節點i,其父節點為i/2;左孩子節點為i*2,右孩子節點為i*2+1。最後一個節點的下標為n,其父節點的下標為n/2。
如下圖所示,最後一個節點為7,其父節點為16,從16這個節點開始構造最大堆;構造完畢之後,轉移到下一個父節點2,直到所有父節點都構造完畢。
C++程式碼實現:
定義存放堆的結構如下:
- strcut MaxHeap
- {
- Etype *heap;
- int HeapSize;
- int MaxSize;
- };
- MaxHeap H;
其中,heap是資料元素存放的空間,下標從1開始存數資料,下標為0的作為工作空間,儲存臨時資料。HeapSize是資料元素的個數,MaxSize是存放資料元素空間的大小。
初始化堆方法如下:
- void MaxHeapInit (MaxHeap &H)
- {
- for(int i = H.HeapSize/2; i>=1; i--)
- {
- H.heap[0] = H.heap[i];
- int son = i*2;
- while(son <= H.HeapSize)
- {
- if(son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son+1])
- son++;
- if(H.heap[0] >= H.heap[son])
- break;
- else
- {
- H.heap[son/2] = H.heap[son];
- son *= 2;
- }
- }
- H.heap[son/2] = H.heap[0];
- }
- }
(2)最大堆中插入節點
最大堆的插入節點的思想就是先在堆的最後新增一個節點,然後沿著堆樹上升。跟最大堆的初始化過程大致相同。
C++程式碼實現:
- void MaxHeapInsert (MaxHeap &H, EType &x)
- {
- if(H.HeapSize == H.MaxSize)
- returnfalse;
- int i = ++H.HeapSize;
- while(i!=1 && x>H.heap[i/2])
- {
- H.heap[i] = H.heap[i/2];
- i = i/2;
- }
- H.heap[i] = x;
- returntrue;
- }
(3)最大堆中堆頂節點的刪除
最大堆堆頂節點刪除思想如下:將堆樹的最後的節點提到根結點,然後刪除最大值,然後再把新的根節點放到合適的位置。
C++程式碼實現:
- void MaxHeapDelete (MaxHeap &H, EType &x)
- {
- if(H.HeapSize == 0)
- returnfalse;
- x = H.heap[1];
- H.heap[0] = H.heap[H.HeapSize--];
- int i = 1, son = i*2;
- while(son <= H.HeapSize)
- {
- if(son <= H.HeapSize && H.heap[0] < H.heap[son+1])
- son++;
- if(H.heap[0] >= H.heap[son])
- break;
- H.heap[i] = H.heap[son];
- i = son;
- son = son*2;
- }
- H.heap[i] = H.heap[0];
- returntrue;
- }
三、堆樹的應用
利用最大堆、最小堆進行排序。
參考文獻:
1、徹底弄懂最大堆的四種操作(圖解+程式)(JAVA) http://128kj.iteye.com/blog/1728555
2、最大堆、最小堆 http://blog.csdn.net/genios/article/details/8157031