淺談分塊演算法
一直覺得分塊是一個很高階的東西…一直沒敢碰,現在才知道分塊就是一種稍微優美一些的暴力,所以沒有學過分塊的同學不要害怕啦…
首先,分塊是什麼意思呢,顧名思義就是把要處理的東西進行分塊,分成一塊一塊的233,舉個很簡單的例子,對於一個數列 size(a{ })=5,我們可以把前2個分到一起,再兩個分到一起,最後單下來一個,為什麼要這樣處理呢?這樣處理的好處又是什麼呢?
我們也可以這樣思考,如果我們把一個數列,當該數列的長度為n的時候,我們以根號n為一段,分出來的段數不超過根號n,如果我們要進行區間的處理,比如加法減法等,可以對於修改區間[ L , R ]可以把其中框起來的塊(一塊是根號n的大小)直接打上標記,由於每一塊的長度不大於根號n,所以對於兩邊沒有框起來的部分,我們直接暴力地進行更新,這樣操作次數是最多2倍根號n的,而中間的標記是O(1)處理的,這就是為什麼該類演算法是根號級別的原因
思路看起來很清晰吧,好像很簡單的樣子,那麼我們馬上就來試試吧
以黃學長的分塊學習順序為例
(本文的所有題目,均來自黃學長,www.hzwer.com)
我們先進行區間修改單點查詢操作
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define MAXN 100000
using namespace std;
int a[MAXN],add[MAXN],b[MAXN],len,n,m;//add為標記
void modify(int l,int r,int ad){
for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++) a[i]+=ad;
if(b[l]!=b[r]){//注意此處的min操作,可能會在小資料卡到你
for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++) a[i]+=ad;
}
for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++)add[i]+=ad;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
len=sqrt (n);
for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(register int i=1;i<=n;i++)b[i]=(i-1)/len+1;
for(register int i=1;i<=m;i++){
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp==1){
int l,r,ad;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad);
modify(l,r,ad);
}else{
int loc;
scanf("%d",&loc);
printf("%d\n",a[loc]+add[b[loc]]);
}//該點的值和該店所在的區間累加的標記
}
return 0;
}
接下來是區間修改,區間查詢小於某值的數有多少個
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#define MAXN 1000000+10
#define MINN 5000
using namespace std;
vector<int>v[MINN];
int len,a[MAXN],b[MAXN],add[MINN];
void reset(int zone){
v[zone].clear();
for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++) v[zone].push_back(a[i]);
sort(v[zone].begin(),v[zone].end());
}
void modify(int l,int r,int ad){
for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++) a[i]+=ad;
reset(b[l]);
if(b[l]!=b[r]){
for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++) a[i]+=ad;
reset(b[r]);
}
for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++) add[i]+=ad;
}
int query(int l,int r,int k){
int cnt=0;
for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++){
if(a[i]+add[b[i]]<k)cnt++;
}
if(b[l]!=b[r]){
for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++){
if(a[i]+add[b[i]]<k)cnt++;
}
}
for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++){
int x=k-add[i];
cnt+=lower_bound(v[i].begin(),v[i].end(),x)-v[i].begin();
}
return cnt;
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
len=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(register int i=1;i<=n;i++){
b[i]=(i-1)/len+1;
v[b[i]].push_back(a[i]);
}
for(register int i=1;i<=b[n];i++) sort(v[i].begin(),v[i].end());
for(register int i=1;i<=m;i++){
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp==1){
int l,r,ad;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad);
modify(l,r,ad);
}else{
int l,r,k;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
printf("%d\n",query(l,r,k));
}
}
return 0;
}
接著是第三個問題
區間修改,查區間內某個數的前驅,如果沒有則返回0
這個問題和上個問題類似,只不過由於需要查前驅,vector不能做到(只能upper _ bound和lower _ bound),而vector是支援元素可重的,這樣一來無法得知其前驅(因為lower _ bound是返回第一個大於他的元素的迭代器,upper _ bound是返回值第一個大於他並且在可重範圍內的最後一個數),所以只需把資料結構改成set就好了,因為set是不可重集
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<set>
#include<cmath>
#define MAXN 100000
#define MINN 1000
using namespace std;
int len,n,m;
set<int>s[MINN];
int add[MINN];
int a[MAXN],be[MAXN];
void reset(int loc){
s[loc].clear();
for(register int i=(loc-1)*len+1;i<=loc*len;i++) s[loc].insert(a[i]);
}
void modify(int from,int to,int ad){
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) a[i]+=ad;
reset(be[from]);
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) a[i]+=ad;
reset(be[to]);
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) add[i]+=ad;
}
int query(int from,int to,int k){
int cnt=0;
for(register int i=from;i<=min(be[from]*len,to);i++)if(a[i]<k)cnt=max(cnt,a[i]);
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) if(a[i]<k)cnt=max(cnt,a[i]);
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){
int x=k-add[i];
set<int>::iterator loc=s[i].lower_bound(x);
if(loc==s[i].begin()) continue;
loc--;
cnt=max(cnt,*loc+add[i]);
}
return cnt;
}
int main(){
//freopen(".txt","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
len=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(register int i=1;i<=n;i++){
be[i]=(i-1)/len+1;
s[be[i]].insert(a[i]);
}
for(register int i=1;i<=m;i++){
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp==1){
int l,r,ad;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad);
modify(l,r,ad);
}else{
int l,r,k;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
printf("%d\n",query(l,r,k));//0表示沒有
}
}
return 0;
}
/*
10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 1 9 9
1 1 3 2
2 1 4 5
*/
區間加法區間求和
和前面一樣,打mark就行了
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define MAXN 100000
#define MINN 1000
using namespace std;
int len;
int n,m;
int a[MAXN],add[MINN],val[MINN],be[MAXN];
void modify(int from,int to,int ad){
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) a[i]+=ad,val[be[from]]+=ad;
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) a[i]+=ad,val[be[to]]+=ad;
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) add[i]+=ad;
}
int query(int from,int to){
int cnt=0;
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) cnt+=(a[i]+add[be[from]]);
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=(a[i]+add[be[to]]);
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) cnt+=(val[i]+add[i]*len);
return cnt;
}
int main(){
//freopen(".txt","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
len=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;i++)be[i]=(i-1)/len+1;
for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),val[be[i]]+=a[i];
for(register int i=1;i<=m;i++){
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp==1){
int f,t,ad;
scanf("%d%d%d",&f,&t,&ad);
modify(f,t,ad);
}else{
int f,t;
cin>>f>>t;
printf("%d\n",query(f,t));
}
}
return 0;
}
區間開方,區間求和
我們可以考慮一個數,在保留int的情況下,只需要幾次就會開方到1或者0,所以我們只需要記錄一個塊是否全部是0或者1就行了,因為再進行操作不會對其進行修改
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define MAXN 10000
#define MINN 1000
using namespace std;
int n,m,be[MAXN],a[MAXN];
int val[MINN];
bool flag[MAXN];
int len;
void sqrtt(int zone){
if(flag[zone]) return;
flag[zone]=true;
val[zone]=0;
for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++){
a[i]=sqrt(a[i]);
val[zone]+=a[i];
if(a[i]>1)flag[zone]=false;
}
}
void modify(int from,int to){
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){
val[be[from]]-=a[i];
a[i]=sqrt(a[i]);
val[be[from]]+=a[i];
}
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){
val[be[to]]-=a[i];
a[i]=sqrt(a[i]);
val[be[to]]+=a[i];
}
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) sqrtt(i);
}
int query(int from,int to){
int cnt=0;
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) cnt+=a[i];
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=a[i];
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) cnt+=val[i];
return cnt;
}
int main(){
//freopen("sqrt.txt","r",stdin);
//ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
len=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1;
for(register int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
val[be[i]]+=a[i];
}
for(register int i=1;i<=m;i++){
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp==1){
int f,t;
cin>>f>>t;
modify(f,t);
}else{
int f,t;
cin>>f>>t;
printf("%d\n",query(f,t));
}
}
return 0;
}
區間乘法,區間加法和區間查詢
其實這道題有一個更簡單的做法,把乘法轉化為加法,比如乘n可以想成加這個數的n-1倍,注意程式中mul(乘法)lazy陣列和add(加法)lazy陣列的轉化
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define MAXN 10000
#define MINN 100
using namespace std;
int a[MAXN],be[MAXN];
int val[MINN],add[MINN],mul[MINN];
int len,n,m;
void modifyadd(int from,int to,int ad){
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){
val[be[i]]+=ad;
a[i]+=ad;
}
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){
val[be[i]]+=ad;
a[i]+=ad;
}
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){
add[i]+=ad;
}
}
void modifymul(int from,int to,int mu){
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){
val[be[i]]-=a[i];
a[i]*=mu;
val[be[i]]+=a[i];
}
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){
val[be[i]]-=a[i];
a[i]*=mu;
val[be[i]]+=a[i];
}
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){
add[i]*=mu;
mul[i]*=mu;
}
}
int query(int from,int to){
int cnt=0;
for(register int i=from;i<=min(be[from]*len,to);i++) cnt+=(a[i]*mul[be[i]]+add[be[i]]);
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=(a[i]*mul[be[i]]+add[be[i]]);
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){
cnt+=val[i]*mul[i]+add[i];
}
return cnt;
}
int main(){
//freopen("mul.txt","r",stdin);
cin>>n>>m;
len=sqrt(n);
for(register int i=0;i<MINN;i++)mul[i]=1;
for(register int i=1;i<=n;i++)be[i]=(i-1)/len+1;
for(register int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
val[be[i]]+=a[i];
}
for(register int i=1;i<=m;i++){
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp==1){
int f,t,ju,num;
scanf("%d%d%d%d",&f,&t,&ju,&num);
if(ju==1){//1乘法
modifymul(f,t,num);
}else{
modifyadd(f,t,num);
}
}else{
int f,t;
cin>>f>>t;
printf("%d\n",query(f,t));
}
}
return 0;
}
/*
5 7
1 2 3 4 5
2
1 3
//6
1
1 3 1 2
// 2 4 6 4 5
2
1 3
// 12
1
1 4 2 1
// 3 5 7 5 5
2
1 4
// 20
1
1 4 1 3
// 9 15 21 15 5
2
1 5
// 65
*/
給出一個長為n的數列,以及n個操作,操作涉及區間詢問等於一個數c的元素,並將這個區間的所有元素改為c
顯然我們可以邊query邊處理,用一個數組記錄該塊是否全為某一數,比如mark[1]=3表示第一個區間的所有數都為3,mark[2]=-1表示塊2裡的資料是亂序,沒有統一
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define MAXN 100000
#define MINN 1000
using namespace std;
int n,m,be[MAXN],a[MAXN];
int val[MINN],mark[MINN];
int len;
void reset(int zone){
if(mark[zone]==-1) return;
for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++) a[i]=mark[zone];
mark[zone]=-1;
}
int solve(int from,int to,int c){
int cnt=0;
reset(be[from]);
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){
if(a[i]==c) cnt++;
else a[i]=c;
}
if(be[from]!=be[to]){
reset(be[to]);
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){
if(a[i]==c) cnt++;
else a[i]=c;
}
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){
if(mark[i]!=-1){
if(mark[i]==c){
cnt+=len;
}else{
mark[i]=c;
}
}else{
for(register int j=(i-1)*len+1;j<=i*len;j++){
if(a[j]==c) cnt++;
else a[j]=c;
}
}
}
return cnt;
}
int main(){
//freopen("query.txt","r",stdin);
cin>>n>>m;
len=sqrt(n);
memset(mark,-1,sizeof(mark));
for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1;
for(register int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
val[be[i]]+=a[i];
}
for(register int i=1;i<=m;i++){
int f,t,c;
scanf("%d%d%d",&f,&t,&c);
printf("%d\n",solve(f,t,c));
}
return 0;
}
/*
5 6
1 2 3 4 5
1 3 2
// 1->2 2 2 4 5
1 4 2
// 3->2 2 2 2 5
1 2 3
// 0->3 3 2 2 5
1 5 2
// 2->2 2 2 2 2
1 2 4
// 0->4 4 2 2 2
2 5 4
// 1-> 4 4 4 4 4
*/
最後一個是求區間眾數
注意其中的lower_bound和upper _bound的操作,非常的巧妙,可以算出該區間該數為多少個,程式中的二元陣列則是代表第i個塊到第j個塊的眾數
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#define MAXN 50000+10
#define MINN 500+10
using namespace std;
map<int,int>m;
vector<int>v[MAXN];
int val[MAXN];
int len,n,mm;
int cnt[MINN][MINN];
int ccnt;
int rock[MAXN];
int a[MAXN],be[MAXN];
void pre(int zone){
memset(rock,0,sizeof(rock));
int maxn=0,loc=0;
for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=n;i++){
rock[a[i]]++;
if(rock[a[i]]>maxn||(rock[a[i]]==maxn&&val[a[i]]<val[loc])){
loc=a[i];
maxn=rock[a[i]];
}
cnt[zone][be[i]]=loc;
}
}
int query(int from,int to,int x){
int temp=upper_bound(v[x].begin(),v[x].end(),to)-lower_bound(v[x].begin(),v[x].end(),from);
return temp;
}
int query(int from,int to){
int ans=cnt[be[from]+1][be[to]-1];
int maxn=query(from,to,ans);
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){
int temp=query(from,to,a[i]);
if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]<val[ans])){
ans=a[i];
maxn=temp;
}
}
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){
int temp=query(from,to,a[i]);
if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]<val[ans])){
ans=a[i];
maxn=temp;
}
}
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("txt.txt","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&mm);
len=sqrt(n);
int ans=0;
for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1;
for(register int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
if(!m[a[i]]){
m[a[i]]=++ccnt;
val[ccnt]=a[i];//注意這裡的離散化並不是需要排序,而只是給每一個數一個編號
}
a[i]=m[a[i]];//給數列的每個數一個編號
v[a[i]].push_back(i);//該編號的數的位置加入一個i
}
for(register int i=1;i<=be[n];i++) pre(i);//對每個塊進行pre操作
for(register int i=1;i<=mm;i++){
int aa,bb;
scanf("%d%d",&aa,&bb);
aa=(aa+ans-1)%n+1;bb=(bb+ans-1)%n+1;
if(aa>bb)swap(aa,bb);
ans=val[query(aa,bb)];
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
/*
20 3
1 0 25 14 34 1 25 25 48 8 4 4 9 8 2 2 3 3 3 10
1 20
10 16
4 8
*/