線性空間(Vector Space)

定義(Definition)

設V是一個非空集合，P是一個域：

• 加法：∀α,β∈V$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in V$，總有唯一元素γ∈V$\gamma \in V$與之對應，稱為α$\alpha$與β$\beta$的和，記作γ=α+β$\gamma =\alpha +\beta$。
• 純量乘法（數量乘法）：∀k∈P$\mathrm{\forall }k\in P$，∀α∈V$\mathrm{\forall }\alpha \in V$，總有唯一元素δ∈V$\delta \in V$與之對應，稱為k$k$與α$\alpha$的積，記作δ=kα$\delta =k\alpha$。
• 加法與純量乘法滿足下列條件（設α,β,γ∈Vandk,l∈P$\alpha ,\beta ,\gamma \in Vandk,l\in P$）：
  
  • α+β=β+α$\alpha +\beta =\beta +\alpha$
  • (α+β)+γ=α+(β+γ)$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$
  • ∃零元素0∈V,∀α∈V⟹α+0=α$\mathrm{\exists }\text{零元素}\mathbf{0}\in$
    V,∀α∈V⟹α+0=α
  • ∀α∈V,∃β∈V,α+β=0$\mathrm{\forall }\alpha \in V,\mathrm{\exists }\beta \in V,\alpha +\beta =0$，則稱β$\beta$為α$\alpha$的負元素，記作−α$-\alpha$
  • 對P中單位元1，有1α=α$1\alpha =\alpha$
  • (kl)α=k(lα)$(kl)\alpha =k(l\alpha )$
  • (k+l)α=kα+lα$(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$
  • k(α+β)=kα+kβ$k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$

則稱V為域P上的一個向量空間（線性空間）。加法與純量乘法稱為線性運算。

本質：∀(α,β∈V),∀(k,l∈P)$\mathrm{\forall }(\alpha ,\beta \in V),\mathrm{\forall }(k,l\in P)$，都有kα+lβ∈V$k\alpha +l\beta \in V$

線性相關/無關(Linear Dependence/Independence)

如果V是一個線性空間，如果存在不全為零的係數

c1,c2,⋯,cn∈F$c_1,c_2,\cdots ,c_n\in F$，使得c1v1+c2v2+⋯+cnvn=0$c_1{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}+c_2{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}=0$，那麼其中有限多個向量v1,v2,⋯,vn${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}\cdots \mathbf{,}{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$稱為線性相關的。

反之，稱這組向量線性無關的。更一般的，如果有無窮多個向量，我們稱這無窮多個向量是線性無關的，如果其中任意有限多個都是線性無關的。

基與維數(Basis and Dimension)

線上性空間V中，如果存在n個元素α1,α2,⋯,αn${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，滿足：

• α1,α2,⋯,αn${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$線性無關