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摘要： 隨著近幾年關於複雜網路（Complex network）理論及其應用研究的不斷深入，已有大量關於複雜網路的文章發表在Science，ature，RL，NAS等國際一流的刊物上，側面反映了複雜網路已經成為物理界的一個新興的研究熱點。

隨著近幾年關於複雜網路（Complex network）理論及其應用研究的不斷深入，已有大量關於複雜網路的文章發表在Science，ature，RL，NAS等國際一流的刊物上，側面反映了複雜網路已經成為物理界的一個新興的研究熱點。人們開始嘗試應用這種新的理論工具來研究現實世界中的各種大型複雜系統，其中複雜系統的結構以及系統結構與系統功能之間的關係是人們關注的熱點問題

在自然界中存在的大量複雜系統都可以通過形形色色的網路加以描述。一個典型的網路是由許多節點與節點之間的連邊組成，其中節點用來代表真實系統中不同的個體，而邊則用來表示個體間的關係，往往是兩個節點之間具有某種特定的關係則連一條邊，反之則不連邊，有邊相連的兩個節點在網路中被看作是相鄰的。例如，神經系統可以看作大量神經細胞通過神經纖維相互連線形成的網路[2]；計算機網路可以看作是自主工作的計算機通過通訊介質如光纜、雙絞線、同軸電纜等相互連線形成的網路[2]。類似的還有電力網路[3]、社會關係網路[2,4-5]、交通網路[6]、排程網路[7]等等。

複雜網路的研究由於其學科交叉性和複雜性的特點，涉及了眾多學科的知識和理論基礎

參考文獻：

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[4] Hofman J M, Sharma A, Watts D J. Prediction and explanation in social systems.[J]. Science, 2017, 355.

[5] Ebel H, Mielsch L I, Bornholdt S. Scale-free topology of e-mail networks[J]. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys, 2002, 66(3 Pt 2A):035103.

[6] 吳文祥, 黃海軍. 固定需求交通網路的一般系統最優模型與性質[J]. 管理科學學報, 2015, 18(12):58-67.

[7] 宣琦,吳鐵軍. 複雜open shop問題的網路模型及排程規則設計[J]. 浙江大學學報(工學版),2011,(06):961-968.

[8] Albert R, Barabási A. Statistical mechanics of complex networks[J]. Review of Modern Physics, 2002, 74(1):47-97.

1. 複雜網路的研究歷史

1736，尤拉：哥尼斯堡七橋問題；1950，Erdos, Renyi: 隨機圖論；1998，Strogatz, Barabasi:小世界和無標度網路。

兩篇開創性的文章可以看作是複雜網路研究新紀元開始的標誌：

一篇是美國康奈爾（Cornell）大學理論和應用力學系的博士生Watts及其導師、非線性動力學專家Strogatz教授於1998年6月在Nature雜誌上發表的題為《“小世界”網路的集體動力學》（Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks）的文章；

另一篇是美國Notre Dame大學物理系的Barabāsi教授及其博士生Albert於1999年10月在Science雜誌上發表的題為《隨機網路中標度的湧現》（Emergence of Scaling in Random Networks）的文章。這兩篇文章分別揭示了複雜網路的小世界特徵和無標度性質，並建立了相應的模型以闡述這些特性的產生機理。至此，人們逐漸展開了對複雜網路的研究。

關於網路的研究，數學家早在兩百多年前就開始了，他們已經發展出了成體系的理論與技術，而物理學家的進入只有十幾年左右的歷史！到底是什麼鼓動物理學家來趟這塘渾水，他們的到來有意義嗎？

在我們看來，研究物件特殊的尺度效應是召喚物理學家到來的根本原因。

數學家經典的網路理論，要麼是分析包含幾十數百個頂點，可以畫在一張紙上從而形成直觀印象的網路；要麼是討論不含有限尺度效應，可以精確求解的網路性質。“隨機移走一個頂點會對網路的效能產生什麼樣的影響？”這個問題對於研究有限規則網路的數學家是有意義的，對於擁有幾千萬個節點，接方式複雜多樣的真實網路而言，或許“隨機移走 3％的頂點會對網路效能產生什麼樣的影響？”這個問題更有意義。這個尺度的網路，是被物理學家稱作“足夠大”的網路，對它們的研究，需要使用統計物理的方法。

數學家和物理學家在考慮網路的時候，往往只關心節點之間有沒有邊相連，至於節點到底在什麼位置，是長還是短，彎曲還是平直，有沒有相交等等都是他們不在意的。在這裡，他們把網路不依賴於節點的具體位置和邊的具體形態就能表現出來的性質叫做網路的拓撲性質，相應的結構叫做網路的拓撲結構。

那麼，什麼樣的拓撲結構比較適合用來描述真實的系統呢？兩百多年來，這個問題的研究經歷了三個階段。在最初的一百多年裡，數學家們認為真實系統各因素之間的關係可以用一些規則的結構表示，如二維平面上的歐幾里德格網，看起來像是格子體恤衫上的花紋；又或者最近鄰環網，總是會讓你想到一群手牽著手圍著篝火跳圓圈舞的姑娘。

到了二十世紀五十年代末，數學家們想出了一種新的構造網路的方法，在這種方法下，兩個節點之間連邊與否不再是確定的事情，而是根據一個概率決定。數學家把這樣生成的網路叫做隨機網路，在接下來的四十年裡一直被很多科學家認為是描述真實系統最適宜的網路。直到最近幾年，由於計算機資料處理和運算能力的飛速發展，科學家們發現大量的真實網路既不是規則網路，也不是隨機網路，而是具有與前兩者皆不同的統計特徵的網路。這樣的一些網路被科學家們叫做複雜網路（Complex Networks），對於它們的研究標誌著第三階段的到來。

國內學者對國外複雜網路理論研究的介紹最早始於汪小帆(2002)發表在國外雜誌上的一篇文章[3]，文中回顧了近年來國外複雜網路研究所取得的重要成果，其中包括平均路徑長度、聚集係數、度分佈等網路度量，Internet、www和科學合作網路等現實系統，規則網路、隨機網路、小世界網路、無標度網路等網路模型，以及複雜網路上的同步等。

而在國內刊物上對國外複雜網路理論研究的介紹可追溯到朱涵(2003) [4]在《物理》雜誌上發表的“網路‘建築學”’，文章以小世界、集團化和無標度等概念為中心，介紹了複雜網路的研究進展。

之後，吳金閃等[5]從統計物理學的角度總結了複雜網路的主要研究結果，對無向網路、有向網路和加權網路等三種不同網路統計性質研究的現狀分別作了綜述，對規則網路、完全隨機網路、小世界網路和無標度網路等網路機制模型進行了總結，並對網路演化的統計規律、網路上的動力學性質的研究進行了概括。

周濤等(2005)圍繞小世界效應和無標度特性等複雜網路的統計特徵及複雜網路上的物理過程等問題，概述了複雜網路的研究進展。

劉濤等[6]從平均路徑長度、聚集係數、度分佈等複雜網路的統計性質，小世界網路和無標度網路等網路模型等層面簡述了複雜網路領域的相關研究。

史定華[7]從對網路節點度和度分佈的理解入手，對網路分類、網路的演化機理和模型及結構湧現等方面取得的進展進行了總結。

遺憾的是，目前而言，科學家們還沒有給出複雜網路精確嚴格的定義，從這十幾年的研究來看，之所以稱其為複雜網路，致少包含以下幾層意思：首先，它是大量真實複雜系統的拓撲抽象；其次，它至少在感覺上比規則網路和隨機網路複雜，因為我們可以很容易地生成規則和隨機網路，但就目前而言，還沒有一種簡單方法能夠生成完全符合真實統計特徵的網路；最後，由於複雜網路是大量複雜系統得以存在的拓撲基礎，此對它的研究被認為有助於理解“複雜系統之所以複雜”這一至關重要的問題。

參考文獻：

[1] Watts D J, Strogatz S H. Collective dynamics of 'small-world' networks.[J]. Nature, 1998, 393(6684):440.

[2] Barabási A, Albert R. Emergence of Scaling in Random Networks[J]. Science, 1999, 286(5439):509-512.

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[4] 朱涵, 王欣然, 朱建陽. 網路“建築學”[J]. 物理, 2003, 32(6):364-369.

[5] 吳金閃, 狄增如. 從統計物理學看複雜網路研究[J]. 物理學進展, 2004, 24(1):18-46.

[6] 劉濤, 陳忠, 陳曉榮. 複雜網路理論及其應用研究概述[J]. 系統工程, 2005, 23(6):1-7.

[7] 史定華. 網路——探索複雜性的新途徑[J]. 系統工程學報, 2005, 20(2):115-119.

2. 複雜網路的統計特徵

2.1平均路徑長度L

在網路中，兩點之間的距離為連線兩點的最短路徑上所包含的邊的數目。網路的平均路徑長度指網路中所有節點對的平均距離，它表明網路中節點間的分離程度，反映了網路的全域性特性。不同的網路結構可賦予L不同的含義。如在疾病傳播模型中L可定義為疾病傳播時間，通網路模型中L可定義為站點之間的距離等。

2.2聚集係數C

在網路中，節點的聚集係數是指與該節點相鄰的所有節點之間連邊的數目佔這些相鄰節點之間最大可能連邊數目的比例。而網路的聚集係數則是指網路中所有節點聚集係數的平均值，它表明網路中節點的聚集情況即網路的聚集性，也就是說同一個節點的兩個相鄰節點仍然是相鄰節點的概率有多大，它反映了網路的區域性特性。

2.3度及度分佈

在網路中，點的度是指與該節點相鄰的節點的數目，即連線該節點的邊的數目。而網路的度<k>指網路中所有節點度的平均值。度分佈P(k)指網路中一個任意選擇的節點，它的度恰好為k的概率。

2.4介數

包括節點介數和邊介數。節點介數指網路中所有最短路徑中經過該節點的數量比例，邊介數則指網路中所有最短路徑中經過該邊的數量比例。介數反映了相應的節點或邊在整個網路中的作用和影響力。

2.5小世界效應

複雜網路的小世界效應是指儘管網路的規模很大(網路節點數目N很大)，但是兩個節點之間的距離比我們想象的要小得多。也就是網路的平均路徑長度L隨網路的規模呈對數增長，即L～In N。大量的實證研究表明，真實網路幾乎都具有小世界效應。

2.6無標度特性

對於隨機網路和規則網路，度分佈區間非常狹窄，大多數節點都集中在節點度均值<k>的附近，說明節點具有同質性，因此<k>可以被看作是節點度的一個特徵標度。而在節點度服從冪律分佈的網路中，大多數節點的度都很小，而少數節點的度很大，說明節點具有異質性，這時特徵標度消失。這種節點度的冪律分佈為網路的無標度特性。

3. 各種網路模型

3.1 規則網路

最簡單的網路模型為規則網路，它是指系統中各元素之間的關係可以用一些規則的結構表示，也就是說網路中任意兩個節點之間的聯絡遵循既定的規則，通常每個節點的近鄰數目都相同。常見的具有規則拓撲結構的網路包括全域性耦合網路（也稱為完全圖）、最近鄰耦合網路和星型耦合網路。

3.2 隨機網路

從某種意義上講，規則網路和隨機網路是兩個極端，而複雜網路處於兩者之間。節點不是按照確定的規則連線，如按純粹的隨機方式連線，所得的網路稱為隨機網路。如果節點按照某種自組織原則方式連線，將演化成各種不同網路。

3.3 小世界網路

規則的最近鄰耦合網路具有高聚類特性，但並不是小世界網路。另一方面，ER隨機網路雖然具有小的平均路徑長度但卻沒有高聚類特性。因此，這兩類網路模型都不能再現真實網路的一些重要特徵，畢竟大部分實際網路既不是完全規則的，也不是完全隨機的。作為從完全規則網路向完全隨機網路的過渡，Watts和Strogtz於1998年引入了一個小世界網路模型，稱為WS小世界模型。

3.4 無標度網路

很多網路（包括Internet和新陳代謝網路等）都不同程度擁有如下共同特性：大部分節點只有少數幾個連結，而某些節點卻擁有與其他節點的大量連結，表現在度分佈上就是具有冪律形式，即P(k)~k—γ。這些具有大量連結的節點稱為“集散節點”，所擁有的連結數可能高達幾百、幾千甚至幾百萬。包含這種集散節點的網路，由於網路節點的度沒有明顯的特徵長度，故稱為無標度網路。

3.5 自相似網路

自相似是相似中的一種特殊情況，它是指系統的部分和整體之間具有某種相似性，這種相似性不是兩個無關事物間的偶然近似，而是在系統中必然出現並始終保持的。這種自相似是層次複雜網路共有的拓撲性質，而自相似又是分型的一個基本特徵，所以複雜系統與各層次子系統之間的自相似性，可以利用分形加以描述。

4. 複雜網路主要研究內容及應用

4.1 主要研究內容

複雜網路模型：

• 典型的複雜網路：隨機網、小世界網、無標度網等；
  
• 實際網路及其分類。

網路的統計量及與網路結構的相關性：

• 度分佈的定義和意義，聚集性、連通性的統計量及其實際意義等。

複雜網路性質與結構的關係：

• 同步性、魯棒性和穩定性與網路結構的關係。

複雜網路的動力學：

• 資訊傳播動力學、網路演化動力學、網路混沌動力學。

複雜網路的複雜結構：

• 社團結構、層次結構、節點分類結構等。

網路控制：

• 關鍵節點控制、主引數控制和控制的穩定性和有效性。

4.2 複雜網路的應用

• 複雜網路與生物體的新陳代謝系統、大腦神經網路相結合；
  
• 複雜網路與生物傳染病相結合、在流行病傳播與免疫控制方面的研究；
  
• 複雜網路上的博弈；
  
• 複雜網路在交通網路與社會經濟中的應用；
  
• 複雜網路在通訊網路中的應用；
  
• 複雜網路在計算機網路與網際網路中的應用；
  
• 複雜網路在感測器網路中的應用；
  
• 複雜網路在語言詞彙網路和社會意見傳播等方面的應用等。

技術網路：

計算機網際網路絡已經發展成為一個巨大的複雜系統，網路的數以千萬計的終端使用者通過閘道器和路由器（網路節點）相連，形成一個非常複雜的不規則的拓撲結構而且，越來越多的資訊按照協議通過網際網路絡由各種資訊資源傳給不同的終端使用者(隨著使用者數量和網路連線的迅猛增加，網路拓撲結構更為複雜，導致網路傳輸速率下降和等待時間加長，從而使得網路擁塞網路的擁塞又使得人們不停的改進網路協議和作業系統、增加網路頻寬、增加和優化網路資源，以利於網路更為有效合理的使用。[32]

現實世界中的許多系統都可以用複雜網路來描述，力系統是人類創造的最為複雜的網路系統之一。當前經典的網路模型與實際電力網路存在較大差異。從電力網路本身的演化機理入手，提出並研究了一種可以模擬電力網路演化規律的新型局域世界網路演化模型。[33]

社會網路：

朋友關係網作為一種典型的社會網路，受到了複雜網路領域諸多學者的關注。顧名思義，朋友關係網是根據人們之間的朋友關係所建立的網路，以人為節點，兩人之間若有朋友關係則連線一條邊。一些學者之前對朋友關係網的研究也獲得了許多成果。[34]

引文網路是體現知識生產、傳播過程的一個重要方面。隨著知識量的迅速增長，引文網路已經形成了一個超大規模的網路系統。然而，科學計量學領域中關於大型引文網路的研究還非常少，關於引文網路中知識生產和傳播過程的研究更是少有涉及。

本文立足於科學學引文網路，整合複雜網路理論和社會網路分析方法，從巨集觀、微觀和中觀三個層面對科學學的引文網路進行研究，探討網路的結構及其對知識的流動傳播產生的影響。 對從SCI中下載的資料進行了權威控制並對其進行糾錯，力圖使研究最接近於真實情況。在此基礎上對科學學引文網路的整體結構進行了研究，發現科學學引文網路同時具有複雜網路的“無標度”、“小世界”和“高集聚”的特性。科學學引文網路的整體結構適宜於知識快速流動，但是知識傳播的路徑還有待於進一步的優化。[35]

交通運輸網路：

在城市道路交通網路中，於惡劣天氣、交通事件等可能造成一個或少數關鍵路段或路口失效(如堵塞)，些失效路段或路口會通過路段、路口間的相互關聯引起其它路段或路口失效，成連鎖效應，終導致整個網路或區域性崩潰，就是級聯失效。[36]

基於整個航空運輸網路研究航班延誤及其產生的次生衍生突發事件鏈式效應。以航班延誤為中心，討航班延誤及其波及的發生發展過程，立基於階段細分的航班延誤波及模型；

根據導致航班延誤的原因以及次生衍生事件鏈式效應規律，理由航班延誤及其波及導致的下游航班或下游機場航班延誤等一系列次生衍生事件鏈，建航班延誤次生衍生事件鏈式網路；

通過建立航空運輸網路結構，擬航班延誤及其次生衍生事件鏈式效應的傳播擴散過程，精確預測航班延誤引發的次生衍生事件，量分析航班延誤波及效應的影響程度。有助於民航應急管理部門有針對性地預防和管控航班延誤可能發生的次生衍生事件，而有效地緩解由航班延誤波及引發的次生衍生事件的後果與影響，低航班延誤的損失。[37]

隨著城市化程序的加速，人們出行日益增加，城市的交通擁堵問題越來越嚴重。公共交通是解決城市擁堵問題最為有效的途徑，而城市公共交通網路容量是城市公共交通的一項重要研究。大量的研究如，如何定義城市公共交通網路容量；如何確定影響因素以及計算容量的大小。[38]

生物網路：

生態網路是對生態系統中物質、能量流動進行模擬的結構模型。生態網路分析是指對生態網路進行分析的方法和理論。它在年代後期開始引起人們的注意。其領域涉及生態網路流動分析、資訊分析、隨機分析、結構分析以及靈敏度分析等。它是系統生態學的重要分支。[39]

隨著人類基因組測序工作的完成，蛋白質組學的研究逐漸成為生命科學領域中的研究熱點，對其研究有助於人類更好地理解在生物過程中蛋白質的作用。蛋白質相互作用網路是一個生命有機體內所有相互作用的蛋白質連線而成的一種複雜網路。[40]

人腦是由大量的神經元細胞組成的，神經元的工作產生了人腦的智慧，人腦的研究導致了神經網路這一門學科的誕生，以說腦科學和神經科學的發展對神經網路研究的進展起到了很大的幫助和引領作用。模擬人類或者其他高階靈長類動物、哺乳動物、鳥類等的視覺、聽覺、語言理解等功能的原理，是神經網路研究的初衷，這也是為什麼神經網路領域的研究常常和腦科學以及神經學、認知學等領域存在交叉。

由此而發展起來的機器學習可以分為兩大類：有監督學習和無監督學習。有教師監督的學習指的是所學習的資料樣本是標註好的，學習模型在學習的時候知道要學習的結果是什麼樣，然後根據已知的結果去調節學習的過程和模型本身的引數，監督學習指的是資料樣本沒有標註，學習模型無法得知學習的最終結果，能按照一定的規則去學習未知的結果。[41]

5. 複雜網路研究相關著作及論文

[1] 謝逢潔. 複雜網路上的博弈[M]. 清華大學出版社, 2016.

[2] 蔣忠元, 樑滿貴. 複雜網路傳輸容量分析與優化[M]. 北京交通大學出版社, 2016.

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