解析幾何：第六章 二次曲面（1）球面 橢球面 雙曲面
§1.球面
1.球面方程，球心與半徑
| 圖形 | 方程 |
球心和半徑 |
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1° 標準方程：
x²+y²+z²=R² 2° 引數方程
（φ為經度，θ為緯度） 3° 球面座標方程 r=R |
球心：G(0,0,0)
半徑：R |
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1° (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²
2° 引數方程：
（φ為經度，θ為緯度） |
球心：G(a,b,c)
半徑：R |
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x²+y²+z²+2px+2qy+2rz+d=0
p²+q²+r²>d |
球心：G(-p,-q,-r)
半徑： |
2.球面的切平面與法線
若以平面P通過球面上一點M，且垂直與半徑GM，則稱平面P為球面在點M的切平面。直線MG
設球面方程為x²+y²+z²+2px+2qy+2rz+d=0
則球面在點的切平面方程為x0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0
球面在點的法線方程為
3.兩個球面的交角，兩個球面正交的條件
（1）兩個球面的交角是指它們在交點處的兩個切平面的夾角。
設兩個球面S1:x²+y²+z²+2p1x+2q1y+2r1z+d1=0
S2:x²+y²+z²+2p2x+2q2y+2r2z+d2=0
記它們的交角為θ，則有 
上式中不包含交點的座標，所以兩個球面在交線上各點的交角都相等。
（2）由交角餘弦表示式，可得到兩個球面正交的條件為
2p1p2
§2 橢球面
1. 橢球面方程
（1）標準方程：
（a,b,c>0)
引數方程：
（角φ，θ如圖所示）
（2）特殊情況
- 當a=b時為旋轉橢球面
它是OXZ平面上曲線(橢圓)： 繞Z軸旋轉面得到的
注：b=c或a=c的情況類似
- 當a=b=c時為球面：x²+y²+z²=a²
2. 基本元素
- 頂點：
- 主軸：
依照a,b,c的大小，分別稱為長軸、中軸、短軸。主軸之半徑稱為半軸，類似的有長半軸、中半軸、短半軸之分。
- 主平面 OXY平面：z=0 ; OYZ平面：x=0 ; OZX平面：y=0
- 中心 O(0,0,0)
- 直徑：通過中心的弦
- 直徑平面：通過中心的平面
§
1.單葉雙曲面
(1)標準方程
(a,b,c>0)
(2) 基本元素
·頂點
·主軸 
（依照a,b的大小分別稱為實長軸和實短軸）
·中心 O(0,0,0)
·主平面 OXY平面：z=0 ; OYZ平面: x=0; OZX平面：y=0
(3) 直紋面母線方程
單葉雙曲面是直紋面，且通過曲線面上每一點均有兩條直母線。單葉雙曲面上的兩族直母線方程為：
與
（4) 平面與單葉雙曲面的交線
·平行於Z軸的平面與單葉雙曲面的交線都是雙曲線，特殊情況為一對相交直線。
·垂直於Z軸的平面與單葉雙曲面的交線都是橢圓，特別，OXY平面與曲面的交線：
稱為單葉雙曲面的腰圓.(如右圖）
2. 雙葉雙曲面
（1）標準方程
（a,b,c>0)
(2)基本元素
·頂點 C,C´(0,0,±c)
·主軸 （依照a,b大小分別稱為實長軸和實短軸）
·中心 O(0,0,0)
·主平面 OXY平面：z=0 ; OYZ平面：x=0; OZX平面：y=0
（3）當a=b時為旋轉雙曲面
當a=b時，雙葉雙曲面是由OXZ平面上的雙曲線
繞Z軸旋轉得到的。
（4）平面與雙葉雙曲面的交線
·平行於Z軸的平面與雙葉雙曲面的交線均為雙曲線
·垂直於Z軸的平面z=k(|k|≥c)與雙葉雙曲面的交線都是橢圓。特殊情況(|k|=c)為一點。
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