1.1 定義
對於圖G，若存在一條路徑，經過G中每條邊有且僅有一次，稱這條路為尤拉路徑；如果存在一條迴路經過G每條邊有且僅有一次，稱這條迴路為歐拉回路。具有歐拉回路的圖成為尤拉圖。

1.2 判斷尤拉路徑是否存在的方法

有向圖：圖連通，且只有一個頂點出度大入度1，有一個頂點入度大出度1，其餘都是出度=入度。
無向圖：圖連通，奇度數的結點個數不多於2個，其餘都是偶數度的。

1.3 判斷歐拉回路是否存在的方法

有向圖：圖連通，且所有的頂點出度=入度。
無向圖：圖連通，且所有頂點都是偶數度。

定理一：如果連通無向圖  有  個奇頂點(奇定點數必然為偶數個)，那麼它可以用  筆畫成，並且至少要用 

1.4 尤拉路徑與歐拉回路的題目
程式實現一般是如下過程：
(1).利用並查集判斷圖是否連通，即判斷p[i] < 0的個數，如果大於1，說明不連通。
(2).根據出度入度個數，判斷是否滿足要求。
(3).利用DFS輸出路徑。

/*函式過程中是維護一個連通圖點集A，初始時，每個單獨的結點都是一個連通圖，每加入一條邊，則將兩個連通圖合併在一起，組成一個新的連通圖。且對於每個連通圖，都有其代表結點x。陣列p[]用來記錄結點與所在連通圖代表結點之間的關係。*/

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int maxv = 100 + 2;
int odds[maxv];                 /* 頂點 */
int du[maxv];                   /* 每個頂點的度數 */
int p[maxv];                    /* 並查集陣列 */
bool used[maxv];
int scc[maxv];                  /* scc個數 */
void init(int n)                /*初始化陣列*/
{
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        odds[i] = 0;
        p[i] = -1;
        du[i] = 0;
        used[i] = 0;
    }
}
int utf_find(int x)     /*本函式用來尋找結點x的代表結點。如果x尚未加入到陣列當中或者x即 */
{                       /* 為自己以及其他結點的代表結點，p[x]<0. 此時返 回自己x；*/
    if(0 <= p[x])       /*若結點x已被加入到集合A中且此時x的代表結點不是自己*/
    {                   /* 則遞迴呼叫尋找所在連通圖的代表結點x',特徵是p[x']<0。*/
        p[x] = utf_find(p[x]);
        return p[x];
    }
    return x;
}
void utf_union(int a, int b)  //當加入一條邊的時候，是合併兩個連通圖。
{
    int r1 = utf_find(a);     //尋找新加入邊的兩個結點所在連通圖的代表結點是否一樣，
    int r2 = utf_find(b);     //一樣的話則為“冗餘邊”；否則即是將兩個連通圖連通在一塊。
    if(r1 == r2)
        return;
    int n1 = p[r1];           //每個連通圖中結點的個數，連通圖A1中的結點個數為|n1|，連通圖A2中的結點個數為|n2|.
    int n2 = p[r2];		
    if(n1 < n2)               //A1中結點個數大於A2中結點個數
    {                         //將A2中的代表結點，再連結到A1中的代表結點。
 

        p[r2] = r1;           //這樣A1，A2中結點的代表結點將都是A1的代表結點。
        p[r1] += n2;          //實現兩個連通圖的合併.更新新的連通圖A1中的結點個數。
    }
    else
    {
        p[r1] = r2;           //同上。
        p[r2] += n1;
    }
}
int main()
{
    int n = 0;
    int m = 0;
    int a = 0;
    int b = 0;
    int i = 0;
    int cnt = 0;
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        init(n);
        cnt = 0;
        for(i = 1; i <= m; ++i)        //本段為加入邊，並對邊做並查集歸併。具體如上所示。
        {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            du[a]++;
            du[b]++;
            utf_union(a, b);
        }
        for(i = 1; i <= n; ++i)
        {
            int f = utf_find(i);
            if(!used[f])              //檢查圖中的連通圖個數
            {
                used[f] = 1;
                scc[cnt++] = f;
            }
            if(1 == du[i]%2)          //檢查每個連通圖中度數為奇數的結點個數
                odds[f]++;
        }
        int ret = 0;
        for(i = 0; i < cnt; ++i)      //對每個連通圖做判斷
        {
            if(0 == du[scc[i]])       //如果連通圖是單個結點，則繼續。
                continue;
            if(0 == odds[scc[i]])     //否則如果連通圖中度數為為奇數的結點個數為0，則只需
                ++ret;                //一筆或者或者只需一條路徑就能遍歷所有的邊
            else                      //若連通圖中度數為奇數的節點個數不為0，
                ret += odds[scc[i]]/2;//設為2k，則需要k條路徑才能遍歷所有的邊。
        }
        printf("%d\n", ret);          //函式最後返回遍歷所有的邊需要的路徑數
    }
    return 0;
}

P3: 給出n個field以及m條邊連線這m個field，要求遍歷每條邊2次。求這樣的一條路徑。
若該field組成的圖是連通分量，那麼由於每條邊遍歷2次，即等效的每個結點的度均為偶數。故必然存在歐拉回路。此時只需對原圖作一次DFS，即可得到這樣的路徑。需要記錄下每次訪問的結點順序，重複訪問的也需打印出來。

P4: 給出一組單詞，如果一個單詞的尾和另一個單詞的頭字元相同，那麼這兩個單詞可以相連。問這組單詞能否排成一排，如果可以求出字典序最小的那個。構圖：單詞作為邊，單詞的首字元和尾字元作為結點。讀入一個單詞即新增一條邊。用鄰接連結串列法存邊。首先判斷圖是否連通，如果是，再判斷該圖能否構成尤拉路徑或者回路。如果是迴路，從字元'a'開始尋找，找到第一個存在的字母，從這個字母遍歷就行。如果是路徑，那麼必須從出度大於入度的那個結點開始訪問。由於這個題目要求的是最小字典序，然後考慮我們建立鄰接表時是採用頭插法，那麼我們將單詞從小到大排序，由於我們遍歷結點肯定是從小的結點開始的，這樣遍歷一個結點的鄰接邊的時候就會從大到小訪問這個結點的邊，無法滿足字典最小。所以從大到小排序，遍歷依node陣列為準，每次遍歷一條邊設定下標表示已訪問過。