單變量微分、導數與鏈式法則
映射是一種對應關系。
函數是一種映射，將變量間的關系形式化為數學描述。
令\(y = f(x)\)，即\(y\)是\(x\)的函數，可以是\(y = 2x + 1\)，也可以是\(y = sin(x)\)。\(x\)的變化將引起\(y\)的變化，\(x\)的變化量\(\triangle x\)導致\(y\)變化\(\triangle y\)，當變化量很小（趨近於0）時，為瞬間變化量，記為\(dx\)和\(dy\)，瞬間變化量之比為瞬間變化率，即\(\frac{dy}{dx}\)。瞬間變化率\(\frac{dy}{dx}\)乘以\(x\)的瞬間變化量\(dx\)為\(y\)的瞬間變化量\(dy\)
導數（Derivative），是對瞬間變化率的衡量，即\(\frac{dy}{dx}\)，導數也是函數，衡量每個\(x\)位置處的瞬間變化率。而微分（Differential，differentiation， differential calculus），指的是求導數——通過求瞬間變化量的關系來求導數。
當\(x\)為單變量時，導數為
\[f‘(a) = \frac{dy}{dx} \rvert _{x=a} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
每個位置處的導數如下
基本初等函數包括：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數、常數函數。
基本初等函數通過四則運算和復合可以得到復雜函數，其中減法與加法等價，除法與乘法等價：
- 加法（減法）：\(f(x)+g(x)\)
- 乘法（除法）：\(f(x)g(x)\)
- 復合：\(f(g(x))\)
加法的求導可以理解為變化量（率）的疊加，即\(f‘ + g‘\)；
乘法的求導可以理解為矩形面積的變化率，將\(f(x)\)和\(g(x)\)看成矩形的邊長，導數為$\(\frac{(f + df)(g+dg)}{dx}\)，在\(dx\)趨近於0時，面積增量為\(fdg+gdf\)（忽略了極小項），即導數為\(f‘g+fg‘\)。如下
復合函數的求導可以理解為變化率的傳遞，\(y = f(u)\)
可以令\(x\)變化一個極小量如\(\triangle x=0.000001\)，帶入函數求\(y\)的變化量\(\triangle y\)，用\(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)來估計\(x\)位置的導數，但這無疑是費時費力的，常見函數的導數一般都存在解析形式，如下：
參考
- http://mathworld.wolfram.com/Differential.html
- Chain rule
- 3Bulu1Brown-直觀理解鏈式法則和乘積法則
單變量微分、導數與鏈式法則