此題題意很好懂：

給你N個數，Q個操作，操作有兩種，‘Q a b ’是詢問a~b這段數的和，‘C a b c’是把a~b這段數都加上c。


需要用到線段樹的，update:成段增減，query:區間求和

介紹Lazy思想：lazy－tag思想，記錄每一個線段樹節點的變化值，當這部分線段的一致性被破壞我們就將這個變化值傳遞給子區間，大大增加了線段樹的效率。

在此通俗的解釋我理解的Lazy意思，比如現在需要對[a,b]區間值進行加c操作，那麽就從根節點[1,n]開始調用update函數進行操作，如果剛好執行到一個子節點，它的節點標記為rt，這時tree[rt].l== a && tree[rt].r == b 這時我們可以一步更新此時rt節點的sum[rt]的值，sum[rt] += c* (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，註意關鍵的時刻來了，如果此時按照常規的線段樹的update操作，這時候還應該更新rt子節點的sum[]值，而Lazy思想恰恰是暫時不更新rt子節點的sum[]值，到此就return，直到下次需要用到rt子節點的值的時候才去更新，這樣避免許多可能無用的操作，從而節省時間。

宏定義左兒子lson和右兒子rson，貌似用宏的速度要慢。

PushUp(rt)：通過當前節點rt把值遞歸向上更新到根節點

PushDown(rt)：通過當前節點rt遞歸向下去更新rt子節點的值

rt表示當前子樹的根(root),也就是當前所在的結點

1 __int64 sum[N<<2],add[N<<2];
2 struct Node
3 {
4     int l,r;
5     int mid()
6     {
7         return (l+r)>>1;
8     }
9 } tree[N<<2];

這裏定義數據結構sum用來存儲每個節點的子節點數值的總和，add用來記錄該節點的每個數值應該加多少

tree[].l tree[].r分別表示某個節點的左右區間，這裏的區間是閉區間

下面直接來介紹update函數，Lazy操作主要就是用在這裏

 1 void update(int c,int l,int r,int rt)//表示對區間[l,r]內的每個數均加c，rt是根節點
 2 {
 3     if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)
 4     {
 5         add[rt] += c;
 6         sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);
 7         return;
 8     }
 9     if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;
10     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
11     int m = tree[rt].mid();
12     if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);
13     else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);
14     else
15     {
16         update(c,l,m,rt<<1);
17         update(c,m+1,r,rt<<1|1);
18     }
19     PushUp(rt);
20 }

if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 這裏就是用到Lazy思想的關鍵時刻
正如上面說提到的，這裏首先更新該節點的sum[rt]值，然後更新該節點具體每個數值應該加多少即add[rt]的值，註意此時整個函數就運行完了，直接return，而不是還繼續向子節點繼續更新，這裏就是Lazy思想，暫時不更新子節點的值。

那麽什麽時候需要更新子節點的值呢？答案是在某部分update操作的時候需要用到那部分沒有更新的節點的值的時候，這裏可能有點繞口。這時就掉用PushDown()函數更新子節點的數值。

 1 void PushDown(int rt,int m)
 2 {
 3     if(add[rt])
 4     {
 5         add[rt<<1] += add[rt];
 6         add[rt<<1|1] += add[rt];
 7         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));
 8         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);
 9         add[rt] = 0;//更新後需要還原
10     }
11 }

PushDown就是從當前根節點rt向下更新每個子節點的值，這段代碼讀者可以自己好好理解，這也是Lazy的關鍵。


下面再解釋query函數，也就是用這個函數來求區間和

 1 __int64 query(int l,int r,int rt)
 2 {
 3     if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)
 4     {
 5         return sum[rt];
 6     }
 7     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
 8     int m = tree[rt].mid();
 9     __int64 res = 0;
10     if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);
11     else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);
12     else
13     {
14        res += query(l,m,rt<<1);
15        res += query(m+1,r,rt<<1|1);
16     }
17     return res;
18 }

第一個if還是區間的判斷和前面update的一樣，到這裏就可以知道答案了，所以就直接return。

接下來的查詢就需要用到rt子節點的值了，由於我們用了Lazy操作，這段的數值還沒有更新，因此我們需要調用PushDown函數去更新之，滿足if(add[rt])就說明還沒有更新。




到這裏整個Lazy思想就算介紹結束了，可能我的語言組織不是很好，如果有不理解的地方可以給我留言，我再解釋大家的疑惑。

PS：今天總算是對線段樹入門了。

附上此題的代碼：

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 using namespace std;
  4 const int N = 100005;
  5 #define lson l,m,rt<<1
  6 #define rson m+1,r,rt<<1|1
  7 
  8 __int64 sum[N<<2],add[N<<2];
  9 struct Node
 10 {
 11     int l,r;
 12     int mid()
 13     {
 14         return (l+r)>>1;
 15     }
 16 } tree[N<<2];
 17 
 18 void PushUp(int rt)
 19 {
 20     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 21 }
 22 
 23 void PushDown(int rt,int m)
 24 {
 25     if(add[rt])
 26     {
 27         add[rt<<1] += add[rt];
 28         add[rt<<1|1] += add[rt];
 29         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));
 30         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);
 31         add[rt] = 0;
 32     }
 33 }
 34 
 35 void build(int l,int r,int rt)
 36 {
 37     tree[rt].l = l;
 38     tree[rt].r = r;
 39     add[rt] = 0;
 40     if(l == r)
 41     {
 42         scanf("%I64d",&sum[rt]);
 43         return ;
 44     }
 45     int m = tree[rt].mid();
 46     build(lson);
 47     build(rson);
 48     PushUp(rt);
 49 }
 50 
 51 void update(int c,int l,int r,int rt)
 52 {
53if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)54{55         add[rt]+= c;56         sum[rt]+=(__int64)c *(r-l+1);57return;58}59if(tree[rt].l == tree[rt].r)return;60PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l +1);61int m = tree[rt].mid();62if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);63elseif(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);64else65{66         update(c,l,m,rt<<1);67         update(c,m+1,r,rt<<1|1);68}69PushUp(rt);70}7172 __int64 query(int l,int r,int rt)73{74if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)75{76return sum[rt];77}78PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l +1);79int m = tree[rt].mid();80     __int64 res =0;81if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);82elseif(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);83else84{85        res += query(l,m,rt<<1);86        res += query(m+1,r,rt<<1|1);87}88return res;89}9091int main()92{93int n,m;94while(~scanf("%d %d",&n,&m))95{96         build(1,n,1);97while(m--)98{99char ch[2];100             scanf("%s",ch);101int a,b,c;102if(ch[0]==‘Q‘)103{104                 scanf("%d %d",&a,&b);105                 printf("%I64d\n",query(a,b,1));106}107108else109{110                 scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);111                 update(c,a,b,1);112}113}114}115return0;116}

線段樹區間更新操作及Lazy思想(詳解)