一、康託展開：全排列到一個自然數的雙射

　　X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!，ai為整數，並且0<=ai<i(1<=i<=n)

　　適用範圍：沒有重複元素的全排列

二、全排列的編碼：

　　{1,2,3,4,...,n}的排列總共有n!種，將它們從小到大排序，怎樣知道其中一種排列是有序序列中的第幾個？

　　如 {1,2,3} 按從小到大排列一共6個：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第幾個大的數。

　　這樣考慮：第一位是3，小於3的數有1、2 。所以有2*2!個。再看小於第二位，小於2的數只有一個就是1 ，所以有1*1!=1 所以小於32的{1,2,3}排列數有2*2!+1*1!=5個。所以321是第6個大的數。2*2!+1*1!是康託展開。（注意判斷排列是第幾個時要在康託展開的結果後+1）

　　再舉個例子：1324是{1,2,3,4}排列數中第幾個大的數：第一位是1小於1的數沒有，是0個，0*3!，第二位是3小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，所以只有一個數2，1*2! 。第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，所以有0個數，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第三個大數。

　　又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展開為98884，因為X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解釋：

　　排列的第一位是3，比3小的數有兩個，以這樣的數開始的排列有8!個，因此第一項為2*8!排列的第二位是5，比5小的數有1、2、3、4，由於3已經出現，因此共有3個比5小的數，這樣的排列有7!個，因此第二項為3*7!以此類推，直至0*0!

程式碼實現：

static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};   // 階乘
int cantor(int *a, int n)
{
    int x = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int smaller = 0;  // 在當前位之後小於其的個數
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            if (a[j] < a[i])
                smaller++;
        }
        x += FAC[n - i - 1] * smaller; // 康託展開累加
    }
    return x;  // 康託展開值
}
 

三、全排列的解碼

　　如何找出第16個（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？

　　　　1. 首先用16-1，得到15

　　　　2. 用15去除4!，得到0餘15

　　　　3. 用15去除3!，得到2餘3

　　　　4. 用3去除2!，得到1餘1

　　　　5. 用1去除1!，得到1餘0

　　有0個數比它小的數是1，所以第一位是1，有2個數比它小的數是3，但1已經在之前出現過了所以是4，有1個數比它小的數是2，但1已經在之前出現過了所以是3，有1個數比它小的數是2，但1,3,4都出現過了所以是5，最後一個數只能是2，所以排列為1 4 3 5 2。

程式碼實現：

static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};   // 階乘
  
//康託展開逆運算
void decantor(int x, int n)
{
    vector<int> v;  // 存放當前可選數
    vector<int> a;  // 所求排列組合
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v.push_back(i);
    for(int i=m;i>=1;i--)
    {
        int r = x % FAC[i-1];
        int t = x / FAC[i-1];
        x = r;
        sort(v.begin(),v.end());// 從小到大排序
        a.push_back(v[t]);      // 剩餘數裡第t+1個數為當前位
        v.erase(v.begin()+t);   // 移除選做當前位的數
    }
}