6道題，6道與概率計數相關的題，6道都涉及998244353這個魔性數字的題

Day1

T1:

給出一顆n個節點的二叉樹，每個葉節點有一個權值（權值均不相同），每個非葉節點有一個概率P，表示：該點的權值有P的概率為它所有子節點中的最小值，同時有（1-p）的概率為所有子節點的最大值。
現在將根節點所有可能的權值從小到大排序，設分別為V1,V2,V3...Vm$V_1,V_2,V_3...V_m$
其一一對應的概率為D1,D2,D3...Dm$D_1,D_2,D_3...D_m$
現在求：

∑1≤i≤mi∗D2i∗Vi（mod998244353）$$\sum _{1\le i\le m}i\ast D_i^2\ast V_i（mod998244353）$$
資料範圍：
對於40%的資料，n≤5000；
對於另外10%的資料，保證樹的形態隨機生成；
對於100%的資料，n≤100000（或300000？）;

分析：

40分演算法：O(n2)$O(n^2)$暴力合併即可
特殊10分演算法：因為樹的形態隨機，期望深度為log級，所以直接暴力列舉每個葉節點。
100分演算法：把40分的用線段樹啟發式合併即可（有點卡常，很危險）。

T2:

有2*n張卡牌，其中n張為增益牌，卡的權值為W1,W2,W3..Wn$W_1,W_2,W_3..W_n$，另外n張為戰鬥牌，卡的權值為D1,D2,D3...Dn$D_1,D_2,D_3...D_n$，保證所有Wi,Di$W_i,D_i$均為整數。從中隨機抽取m張，使用其中的k張，使用規則為：每使用一張增益牌，所有戰鬥牌的權值乘上增益牌的權值，每使用一張戰鬥牌，即造成該牌的權值的傷害。
求所有情況下最大傷害之和mod 998244353。
資料範圍：
多組輸入資料
對於100%的資料，

1<Wi<109,Di<109$1<W_i<{10}^9,D_i<{10}^9$
對於100%的資料，2n≤3000$2n\le 3000$

分析：

Day1簽到題，不難得到對於每種情況而言，先把能用的增益卡，按從大到小最多用k-1個，最後用盡量少的戰鬥卡，必然是最優策略。
按照這種策略，我們可以分開求抽到i張增益卡，m-i張戰鬥卡，將兩者所有方案之和相乘，就得到我們需要的答案。
對於求用i張增益卡的所有情況的最大乘積之和，很容易計算，用一個揹包加一個限制條件（不能超過k-1個）即可。
對於求用i張戰鬥卡的所有情況的最大和之和，相對要困難一些，不過對揹包熟悉的同學也會覺得相當容易，我們只要按戰鬥卡的權值從小到大排序，假設當前求

dp[i]$dp[i]$，列舉到的卡牌為j$j$，
若k-m+i<2，則dp[i]=D[j]∗C(j−1,i−1)$dp[i]=D[j]\ast C(j-1,i-1)$
否則dp[i]=D[j]∗C(j−1,i−1)+D[i−1]$dp[i]=D[j]\ast C(j-1,i-1)+D[i-1]$
最後再O(m)$O(m)$列舉分別摸到i張增益卡，j張戰鬥卡的dp值，相乘之和就是答案

T3

本題程式碼量頗大，細節多，考場上無人得分（估計都覺得調第一題卡常更有趣）。
題目大意是一個類似於鬥地主的遊戲。
給出一些固定的手牌，假如你是地主，求在擁有這些牌的情況下，所有一定能打出春天（對方無論什麼手牌，都無法出一張牌）的方案數(mod 998244353)，地主總牌數為20張。
具體出牌規則我記不太清，基本與鬥地主想同，但有些出入。

分析：

這道題也沒什麼好說的，首先農民不可能有雙王，也就意味著地主手上必有一王
然後分農民是否擁有炸彈這兩種情況：
若農民有炸彈，那麼地主必須先出一堆比他大的炸彈，最後一次性出完所有手牌。這種情況較少，很容易枚舉出來
若農民無炸彈，也就意味著地主必須擁有從1到k的每張牌至少一張，再加上一王的約束，已經有14張牌確定了。最後6張暴力列舉，加一些剪枝，每種情況check一下即可。

Day2

T1：

我們知道求一個圖的最大獨立集問題是完全NP問題。儘管現在並沒有嚴格的多項式複雜度的演算法，但有很多近似多項式複雜度的演算法。現在有一種演算法是這樣的：
隨機得到一個從1到n的排列，從前向後處理，若當前位置的點可以加入我們目前的假設最大獨立集，就加入它，否則忽略它，處理後一位。
求這樣一種演算法能得到最大獨立集的概率 (mod 998244353)。
資料範圍：
對於100%的資料，n≤20

分析：

Day2簽到題
O(2n)$O(2^n)$複雜度記憶化搜尋所有情況，每種情況表示：若為1，則該點選入當前假設最大獨立集，若為0，則該點可能未訪問，可能與當前的假設最大獨立集矛盾。
每次列舉一個新加入的點，假設有m個可加入的點，其中能達到當前狀態最大獨立集（即區域性最大獨立集）的方案是加入點a1,a2,...ak$a_1,a_2,...a_k$，其能達到區域性最大獨立集的概率分別為d1,d2,...dk$d_1,d_2,...d_k$，當前狀態能達到區域性最大獨立集的概率即為

ds=∑d2(i−1)+sm$$d_s=\frac{\sum d_{2^{(i-1)}+s}}{m}$$
最終答案即為d0$d_0$

T2：

獵人遊戲，每個獵人有一個威脅值Wi（Wi為正