l 輾轉相除法

演算法描述:

輾轉相除法是求兩個正整數的最大公約數的一種演算法.

有兩整數a和b：

 ① a%b得餘數c

 ② 若c=0，則b即為兩數的最大公約數

 ③ 若c≠0，則a=b，b=c，再回去執行①

 例如求27和15的最大公約數過程為：

  27÷15餘1215÷12餘312÷3餘0因此，3即為最大公約數

資料流程圖:

演算法的數學證明:

證明輾轉相除法的確可以求得最大公約數,只需證明gcd(a,b)=gcd(b,a%b).

證明:定義a=k*b+r ,即k=a/b , r=a%b

假設一個數d為a,b的一個公約數,表示為d|a且d|b,意為a能被d整除同時b也能被b整除.-->

兩個數的最小公倍數等於他們的乘積除以最大公約數.

C#程式碼實現:

迴圈:

Console.WriteLine ("輸入兩個正整數(輸入一個敲下回車): ");
int num1 = int.Parse (Console.ReadLine ());
int num2 = int.Parse (Console.ReadLine ()); 
int temp = num1*num2,r;
do{
    r = num1 % num2;
    num1 = num2;
    num2 = r;
   }while(r>0);
Console.WriteLine ("最大公約數是{0} ",num1);
Console.WriteLine ("最小公倍數是{0} ",temp/num1);
 

遞迴:

public static int gcd (int a, int b)
    {
     	return (b==0?a:gcd(b,a%b));
    } 

輾轉相減法與輾轉相減法相似

演算法描述

     有兩整數a和b：
                 ①若a>b，則a=a-b
                 ②若a<b，則b=b-a
                 ③若a=b，則a（或b）即為兩數的最大公約數
                 ④若a≠b，則再回去執行①
                 例如求27和15的最大公約數過程為：

                27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )
               12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )
                6－3＝3( 3==3 )
                因此，3即為最大公約數

程式碼實現

int temp = num1*num2;
while(num1!=num2)
  {
   if (num1 > num2)
      num1 -= num2;
   else
      num2 -= num1;
   }
Console.WriteLine ("最大公約數是{0} ",num1);
Console.WriteLine ("最小公倍數是{0} ",temp/num1);