判別系統穩定性最基本的方法是根據特徵方程式的根的性質來判定。但求解高於三階的特徵方程式相當複雜和困難。所以在實際應用中提出了各種工程方法，它們無需求特徵根，但都說明了特徵根在複平面上的分佈情況，從而判別系統的穩定性。本節主要介紹代數判據。

（一） 系統穩定性的初步判別

設已知控制系統的特徵方程

式中所有係數均為實數，且a0>0

系統穩定的必要條件是上述特徵方程式所有係數均為正數。可簡單證明如下：

將特徵方程寫成用特徵根表達的形式

（3-1）

假如所有特徵根均在S平面的左半部，即-σi<0，-αk<0，則式（3-1）中的σi<0，αk<0 （i=1，…，q；k=1，…，l；q+2l=n），若把式（3-1）的乘積展開，s多項式的各項係數必然均大於零。

根據這一原則，在判別系統穩定性時，可事先檢查一下系統特徵方程式的係數是否均為正數。如果有任何一項係數為負數或等於零（即缺項），則系統是不穩定或臨界穩定的。假如只是判別系統是否穩定，到此就不必作進一步的判別了。如果係數均為正數，對二階系統來說肯定是穩定的（必要且充分），但對二階以上的系統，還要作進一步的判別。

（二） 勞斯判據（Routh）

將系統的特徵方程寫成如下標準形式

並將各系陣列成如下排列的勞斯表：

表中的有關係數為

………………………

係數bi的計算一直進行到其餘的b值全部等於零為止。

………………………

這一計算過程一直進行到n行為止。為了簡化數值運算，可以用一個正整數去除或乘某一行的各項，這時並不改變穩定性的結論。

列出了勞斯表以後，可能出現以下幾種情況。

1．第一列所有係數均不為零的情況，這時，勞斯判據指出，系統極點實部為正實數根的數目等於勞斯表中第一列的係數符號改變的次數。系統極點全部在複平面的左半平面的充分必要條件是方程的各項係數全部為正值，並且勞斯表的第一列都具有正號。

2．某行第一列的係數等於零，而其餘項中某些項不等於零的情況。在計算勞斯表中各元素的數值時，如果某行的第一列的數值等於零，而其餘的項中某些項不等於零，那麼可以用一有限小的數值ε來代替為零的那一項，然後按照通常方法計算陣列中其餘各項。如果零（ε）上面的係數符號與零（ε）下面的係數符號相反，表明這裡有一個符號變化。

3．某行所有各項係數均為零的情況，如果勞斯表中某一行的各項均為零，或只有等於零的一項，這表示在s平面記憶體在一些大小相等符號相反的實極點和（或）一些共軛虛數極點。為了寫出下面各行，將不為零的最後一行的各項組成一個方程，這個方程叫作輔助方程，式中s均為偶次。由該方程對s求導數，用求導得到的各項係數來代替為零的各項，然後繼續按照勞斯表的列寫方法，寫出以下的各行。至於這些根，可以通過解輔助方程得到。但是當一行中的第一列的係數為零，而且沒有其它項時，可以像情況2所述那樣，用ε代替為零的一項，然後按通常方法計算陣列中其餘各項。

（三） 赫爾維茨判據（Hurwitz）

分析6階以下系統的穩定性時，還可以應用赫爾維茨判據。 將系統的特徵方程寫成如下標準形式

現以它的各項係數寫出如下之行列式：

行列式中，對角線上各元為特徵方程中自第二項開始的各項係數。每行以對角線上各元為準，寫對角線左方各元時，係數a的腳標遞增；寫對角線右方各元時，係數a的腳標遞減。當寫到在特徵方程中不存在係數時，則以零來代替。

赫爾維茨判據描述如下：系統穩定的充分必要條件在a0>0的情況下是，上述各行列式的各階主子或均大於零，即對穩定系統來說要求

赫爾維茨穩定判據雖然在形式上與勞斯判據不同，但實際結論是相同的。