Floyd Warshall演算法是動態規劃的經典演算法

該演算法可以解決圖中每個頂點到其他頂點的距離，圖中可以有負權值邊，但不能有負迴圈。

時間複雜度為O(V的三次方)

演算法思想

dist[V][V]初始化為二維陣列edge[V][V]的內容

for迴圈執行V次，每次以一個頂點為中間頂點，更新所有頂點通過中間頂點到其他頂點的距離

for(int k=0;i<V;k++)

  for(int i=0;i<V;i++)

    for(int j=0;j<V;j++)

      if(edge[i][k] ! = INT_MAX && edge[k][j] != INT_MAX && edge[i][j]>edge[i][k]+edge[k][j])

        edge[i][j]=edge[i][k]+edge[k][j];

演算法的理解

設頂點v0到頂點v5之間的最短路徑為 v0->v6->v3->v4->v5

當中間頂點為除v0和v5的其他頂點時就能把與中間頂點相鄰的兩個頂點連起來，必能得到v0到v5的最短路徑

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

struct Graph {
	int V;
	vector<vector<int>>adjMatrix;
public:
	Graph(int v) :V(v), adjMatrix(V) { }
	void floydWarshall();
};

void printSolution(vector<vector<int>> & dist)
{
	cout << "Following matrix shows the shortest"
		"distances between every pair of vertices" << endl;
	for (int i = 0;i < dist.size();i++)
	{
		for (int j = 0;j < dist.size();j++)
		{
			if (dist[i][j] == INT_MAX)
				printf("%7s", "INF");
			else
				printf("%7d", dist[i][j]);
		}
		cout << endl;
	}
}
void Graph::floydWarshall()
{
	auto dist = adjMatrix;

	for (int k = 0;k < V;k++)
		for (int i = 0;i < V;i++)
			for (int j = 0;j < V;j++)
				if (dist[i][k] != INT_MAX &&
					dist[k][j] != INT_MAX &&
					dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]
					)
					dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];

	printSolution(dist);
}

int main()
{
	Graph graph(4);
	graph.adjMatrix = {
		{ 0,5,INT_MAX, 10 },
		{ INT_MAX, 0,3, INT_MAX },
		{ INT_MAX, INT_MAX, 0,1 },
		{ INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX, 0 }
	};
	graph.floydWarshall();
	return 0;
}