Bellman-Ford演算法詳講
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Dijkstra演算法是處理單源最短路徑的有效演算法,但它侷限於邊的權值非負的情況,若圖中出現權值為負的邊,Dijkstra演算法就會失效,求出的最短路徑就可能是錯的。
這時候,就需要使用其他的演算法來求解最短路徑,Bellman-Ford演算法就是其中最常用的一個。該演算法由美國數學家理查德•貝爾曼(Richard Bellman, 動態規劃的提出者)和小萊斯特•福特(Lester Ford)發明。
適用條件&範圍:
單源最短路徑(從源點s到其它所有頂點v);
有向圖&無向圖(無向圖可以看作
邊權可正可負(如有負權迴路輸出錯誤提示);
差分約束系統;
Bellman-Ford演算法的流程如下:
給定圖G(V, E)(其中V、E分別為圖G的頂點集與邊集),源點s,陣列Distant[i]記錄從源點s到頂點i的路徑長度,初始化陣列Distant[n]為, Distant[s]為0;
以下操作迴圈執行至多n-1次,n為頂點數:
對於每一條邊e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],則另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)為邊e(u,v)的權值;
若上述操作沒有對Distant進行更新,說明最短路徑已經查詢完畢,或者部分點不可達,跳出迴圈。否則執行下次迴圈;
為了檢測圖中是否存在負環路,即權值之和小於0的環路。對於每一條邊e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的邊,則圖中存在負環路,即是說改圖無法求出單源最短路徑。否則陣列Distant[n]中記錄的就是源點s到各頂點的最短路徑長度。
可知,Bellman-Ford演算法尋找單源最短路徑的時間複雜度為O(V*E).
Bellman-Ford演算法可以大致分為三個部分
第一,初始化所有點。每一個點儲存一個值,表示從原點到達這個點的距離,將原點的值設為0
第二,進行迴圈,迴圈下標為從1到n-1(n等於圖中點的個數)。在迴圈內部,遍歷所有的邊,進行鬆弛計算。
第三,遍歷途中所有的邊(edge(u,v)),判斷是否存在這樣情況:
d(v) > d (u) + w(u,v)
則返回false,表示途中存在從源點可達的權為負的迴路。
之所以需要第三部分的原因,是因為,如果存在從源點可達的權為負的迴路。則 應為無法收斂而導致不能求出最短路徑。
測試程式碼如下:(下面為有向圖的Bellman-Ford演算法。。。。。)
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- usingnamespace std;
- #define MAX 0x3f3f3f3f
- #define N 1010
- int nodenum, edgenum, original; //點,邊,起點
- typedefstruct Edge //邊
- {
- int u, v;
- int cost;
- }Edge;
- Edge edge[N];
- int dis[N], pre[N];
- bool Bellman_Ford()
- {
- for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
- dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
- for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
- for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
- if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //鬆弛(順序一定不能反~)
- {
- dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
- pre[edge[j].v] = edge[j].u;
- }
- bool flag = 1; //判斷是否含有負權迴路
- for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
- if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
- {
- flag = 0;
- break;
- }
- return flag;
- }
- void print_path(int root) //列印最短路的路徑(反向)
- {
- while(root != pre[root]) //前驅
- {
- printf("%d-->", root);
- root = pre[root];
- }
- if(root == pre[root])
- printf("%d\n", root);
- }
- int main()
- {
- scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
- pre[original] = original;
- for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
- {
- scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
- }
- if(Bellman_Ford())
- for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每個點最短路
- {
- printf("%d\n", dis[i]);
- printf("Path:");
- print_path(i);
- }
- else
- printf("have negative circle\n");
- return 0;
- }
測試資料:
4 6 1
1 2 20
1 3 5
4 1 -200
2 4 4
4 2 4
3 4 2
和:
4 6 1
1 2 2
1 3 5
4 1 10
2 4 4
4 2 4
3 4 2