題面傳送門

小學奧數題&&結論題

ans=a∗b−a−b

給大家一個不太嚴謹的證明：

用到一個引理：不定方程ax+by=c(a,b,c>0)一定有一組解(x1,y1)滿足−a<y1≤0且x1>0

先證引理

首先，顯然x,y中至少有一個非負（都是負數就不可能等於c）

然後假設有一組特解(x0,y0)，那麼通解為(x0+bt,y0−at)(t∈Z)

所以有一組特解(x1,y1)滿足−a<y1≤0

因為y1≤0，所以x1>0

引理得證

再證原命題

a=1 或 b=1時命題成立，下面考慮a>1,b>1

分兩步：

1.證a

b−a−b≠ax+by

假設ab−a−b=ax+by(x≥0,y≥0)

那麼ab=a(x+1)+b(y+1)

令m=x+1,n=y+1(m≥1,n≥1)，則ab=am+bn

所以a|bn

又因為gcd(a,b)=1，所以a|n，不妨設n=an′

上面的式子變為ab=am+abn′，推出am=(1−n′)ab≤0，矛盾！

原命題得證

2.證ab−a−b+t(t≥1)可以被分解為ax+by的形式

構造不定方程au+bv=t，由引理得它有一組特解滿足−a<v0≤0且u0>0

ab−a−b+t=ab−a−b+au0+bv0=(u0−1)a+(v0+a−1)b

因為u0−1≥0,v0+a−1≥

所以，ab−a−b是最大的不能被表示為ax+by的整數

code

#include<iostream>
using namespace std;
unsigned long long a,b;
int main()
{
    cin>>a>>b;
    cout<<a*b-a-b;
    return 0;
}