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題型: 程式設計題   語言: C++;C;VC;JAVA

Description

問題描述：一個正凸N邊形，可以用N-3條互不相交的對角線將正N邊形分成N-2個三角形。
現在要求讀入N邊形的N（N≤20），輸出不同劃分方法的總數（要求解的是劃分方法數，而不需要輸出各種劃分法）。

這裡，注意：
（1）頂點編號，認為頂點皆不相同，因此不允許認為將凸N邊形轉置視為相同劃分。
（2）若輸出是“No answer”，請注意大小寫和無標點。

輸入輸出舉例：
輸入: N＝3，               輸出：1
輸入: N＝5，		輸出：5
輸入: N＝2，		輸出：No answer
輸入: N＝6，		輸出：14
輸入: N＝8，		輸出：132

例如：
當N＝5時，共有5種分法。

輸入格式

N，代表正凸N邊形。

輸出格式

不同劃分方法的總數。

輸入樣例

5

輸出樣例

5

提示

題目所求的是分法總數，並不要求具體的分法。而且，N可以大到21。
因此，用簡單搜尋或列舉會耗時較多，而應該想方設法找出N為不同值時，分法總數的變化規律。

把一個正凸N邊形的各個頂點按照順時針分別編上1，2，……，N。
頂點1，頂點N和頂點I（I∈[2, N-1]）能夠構成一個三角形S。
這樣凸N邊形就被分成三部分：一個三角形S、一個I邊形和一個N+1-I邊形（I, N+1-I∈[2, N-1]）。
因此，凸N邊形分為三角形總數Total(N)等於I邊形的分法總數乘以N+1-I邊形的分法總數之積，還要在I分別取2，3，……，N－1時都累加起來。

遞推公式如下：
Total(N) = sum{ Total(I)*Total(N+1-I) | for I=2 to N-1}   if N>=4
Total(2) = Total(3) = 1

注意： 2點的多邊形視為蛻化的多邊形，定義其Total(2)=1，是為遞推公式推導用。
但按題目意思當N=2時輸出無解。

另外，此題需要注意的是，如果你寫的純遞迴程式可能會超時的，因為這裡遞迴存在重複，且重複數量龐大。
需要用陣列將你算過的元素儲存下來，避免重複的遞迴計算，這樣優化後，才能通過。

作者

zhengchan

我的實現程式碼

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string.h>

using namespace std;

int *arr;

int Total(int n){
    if (arr[n] != 0) {//有備忘記錄
        return arr[n];
    }
    
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        
        count += Total(i) * Total(n + 1 -i);
    }
    
    arr[n] = count;//進行到此，記錄此備忘
    
    return count;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    if (n == 2) {//預處理
        cout << "No answer";
    }else{
        arr = new int[n + 1];
        
        memset(arr, 0, (n + 1) * sizeof(int));
        arr[2] = 1;
        arr[3] = 1;
        
        cout << Total(n);
    }
    
    cout << endl;
    return 0;
}