譜聚類（Spectral Clustering）演算法簡單易行，其聚類效能優於傳統的K-means演算法。譜聚類將資料的劃分轉化為對圖的分割，是一種基於圖論的聚類方法，其直觀理解為根據圖內點的相似度將圖分為多個子圖，使子圖內部的點相似度最高，子圖之間點的相似度最低。

1. 圖論基礎

1.1 圖的表示

  記G=(V,E)表示一個無向加權圖，V表示所有頂點的集合V={v1,...,vn}，E表示所有邊的集合，並且任意兩點vi和vj的邊具有非負權值wij≥0。圖的鄰接矩陣為W=(wij)i,j=1,...,n，如果wij=0則表示點vi和vj之間沒有連線。由於G為無向圖，所以其鄰接矩陣具有對稱性，即w

ij=wij。圖中任一點vi的度為di=∑nj=1wij，表示一個點與其他所有點的連線情況，圖的度矩陣D為每個點的度所構成的對角矩陣D=diag{d1,...,dn}。

1.2 相似度圖的構造方法

  給定一組資料集V={v1,...,vn}，將其構造為相似度圖的意義在於描述點對之間的區域性近鄰關係。此處介紹三種構造相似度圖的方法。
  （1）ε近鄰圖。如果兩點之間的距離小於給定值ε，則連線兩點。ε的值需要根據圖中各點的距離選擇，使與某一點連線的點不會太多，也不會太少。
  （2）k近鄰圖。如果點vj是vi的k近鄰點之一，則連線兩點。由於近鄰點的非相互性，按此方法構造的鄰接矩陣不對稱，一種方法是採取“或”的方式，即如果v

j是vi的k近鄰點之一，或vi是vj的k近鄰點之一，則連線兩點；另一種方法是採取“與”的方式，如果vj是vi的k近鄰點之一，並且vi是vj的k近鄰點之一，則連線兩點。
  （3）全連線圖。不考慮任何因素，直接將所有的點兩兩相連，由於圖表示點之間的區域性鄰接特性，常用的相似性函式為s(xi,xj)=exp(−∥xi−xj∥22σ2)。

1.3 圖的Laplacian矩陣

  這裡我們要講到譜聚類中的關鍵內容——拉普拉斯矩陣，其定義為L=D–W，其中D和W就是上文定義的圖的度矩陣和鄰接矩陣。下面我們給出譜聚類中用到的拉普拉斯矩陣的一些性質。
  （1）對任意的向量f∈Rn，有fTLf=

12∑i,j=1nwij(fi−fj)2。
  證明：（此處用到了W的對稱性）

fTLf=fTDf−fTWf=∑i=1nf2idi−∑i,j=1n

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